Primitives

Déterminer les primitives des fonctions usuelles - Exercice 1

10 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

n(x)=−3x+8n\left(x\right)=-3x+8

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • N(x)=−3×12x2+8x+kN\left(x\right)=-3\times\frac{1}{2}x^{2} +8x+k
    N(x)=−32x2+8x+kN\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^{2} +8x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    b(x)=−x2+9x+7b\left(x\right)=-x^{2} +9x+7

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • B(x)=−12+1x2+1+9×11+1x1+1+7x+kB\left(x\right)=-\frac{1}{2+1} x^{2+1} +9\times\frac{1}{1+1} x^{1+1} +7x+k
    B(x)=−13x3+9×12x2+7x+kB\left(x\right)=-\frac{1}{3} x^{3} +9\times\frac{1}{2} x^{2} +7x+k
    B(x)=−13x3+92x2+7x+kB\left(x\right)=-\frac{1}{3} x^{3} +\frac{9}{2} x^{2} +7x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    c(x)=−6x2+x−2c\left(x\right)=-6x^{2} +x-2

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • C(x)=−6×12+1x2+1+11+1x1+1−2x+kC\left(x\right)=-6\times\frac{1}{2+1} x^{2+1}+\frac{1}{1+1} x^{1+1} -2x+k
    C(x)=−63x3+12x2−2x+kC\left(x\right)=-\frac{6}{3} x^{3} +\frac{1}{2} x^{2} -2x+k
    C(x)=−2x3+12x2−2x+kC\left(x\right)=-2 x^{3} +\frac{1}{2} x^{2} -2x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    d(x)=3x4−5x2+9x−8d\left(x\right)=3x^{4} -5x^{2} +9x-8

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • d(x)=3x4−5x2+9x−8d\left(x\right)=3x^{4} -5x^{2} +9x-8
    D(x)=3×14+1x4+1−5×12+1x2+1+9×11+1x1+1−8x+kD\left(x\right)=3\times\frac{1}{4+1} x^{4+1}-5\times\frac{1}{2+1} x^{2+1}+9\times\frac{1}{1+1} x^{1+1}-8x+k
    D(x)=35x5−53x3+92x2−8x+kD\left(x\right)=\frac{3}{5} x^{5} -\frac{5}{3} x^{3}+\frac{9}{2} x^{2} -8x+k
    D(x)=35x5−53x3+92x2−8x+kD\left(x\right)=\frac{3}{5} x^{5} -\frac{5}{3} x^{3}+\frac{9}{2} x^{2} -8x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    e(x)=7x5−8x4−6x3+8x2−7x+1e\left(x\right)=7x^{5} -8x^{4} -6x^{3} +8x^{2} -7x+1

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • e(x)=7x5−8x4−6x3+8x2−7x+1e\left(x\right)=7x^{5} -8x^{4} -6x^{3} +8x^{2} -7x+1
    E(x)=7×15+1x5+1−8×14+1x4+1−6×13+1x3+1+8×12+1x2+1−7×11+1x1+1+x+kE\left(x\right)=7\times\frac{1}{5+1} x^{5+1}-8\times\frac{1}{4+1} x^{4+1}-6\times\frac{1}{3+1} x^{3+1}+8\times\frac{1}{2+1} x^{2+1}-7\times\frac{1}{1+1} x^{1+1}+x+k
    E(x)=76x6−85x5−64x4+83x3−72x2+x+kE\left(x\right)=\frac{7}{6} x^{6} -\frac{8}{5} x^{5}-\frac{6}{4} x^{4}+\frac{8}{3} x^{3}-\frac{7}{2} x^{2} +x+k
    E(x)=76x6−85x5−32x4+83x3−72x2+x+kE\left(x\right)=\frac{7}{6} x^{6} -\frac{8}{5} x^{5}-\frac{3}{2} x^{4}+\frac{8}{3} x^{3}-\frac{7}{2} x^{2} +x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 6

    f(x)=7x8+3x5−x4+14x2+3x−12f\left(x\right)=7x^{8} +3x^{5} -x^{4} +\frac{1}{4} x^{2} +3x-\frac{1}{2}

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • f(x)=7x8+3x5−x4+14x2+3x−12f\left(x\right)=7x^{8} +3x^{5} -x^{4} +\frac{1}{4} x^{2} +3x-\frac{1}{2}
    F(x)=7×18+1x8+1+3×15+1x5+1−1×14+1x4+1+14×12+1x2+1+3×11+1x1+1−12x+kF\left(x\right)=7\times\frac{1}{8+1} x^{8+1}+3\times\frac{1}{5+1} x^{5+1}-1\times\frac{1}{4+1} x^{4+1}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2+1} x^{2+1}+3\times\frac{1}{1+1} x^{1+1}-\frac{1}{2}x+k
    F(x)=79x9+36x6−15x5+112x3+32x2−12x+kF\left(x\right)=\frac{7}{9} x^{9} +\frac{3}{6} x^{6}-\frac{1}{5} x^{5}+\frac{1}{12} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2} -\frac{1}{2}x+k
    F(x)=79x9+12x6−15x5+112x3+32x2−12x+kF\left(x\right)=\frac{7}{9} x^{9} +\frac{1}{2} x^{6}-\frac{1}{5} x^{5}+ \frac{1}{12}x^{3}+\frac{3}{2} x^{2} -\frac{1}{2}x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 7

    g(x)=3ex−5x4+2xg\left(x\right)=3e^{x} -5x^{4} +2x

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
  • Une primitive de exe^{x} est exe^x
    • g(x)=3ex−5x4+2xg\left(x\right)=3e^{x} -5x^{4} +2x
    G(x)=3ex−5×14+1x4+1+2×11+1x1+1+kG\left(x\right)=3e^{x}-5\times\frac{1}{4+1} x^{4+1}+2\times\frac{1}{1+1} x^{1+1}+k
    G(x)=3ex−55x5+22x2+kG\left(x\right)=3e^{x}-\frac{5}{5} x^{5} +\frac{2}{2} x^{2}+k
    G(x)=3ex−x5+x2+kG\left(x\right)=3e^{x}-x^{5} +x^{2}+k
    où kk est une constante réelle.