Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant la condition proposée - Exercice 1

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$. Ainsi :
$$F\left(x\right)=2\times\frac{1}{2}x^{2} -4x+c$$
Soit : où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(1\right)=9$$. Il vient alors :
$$F\left(1\right)=9$$ équivaut successivement à :
$$1^{2} -4\times 1+c=9$$
$$1-4+c=9$$
$$-3+c=9$$
$$c=9+3$$
$$c=12$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(1\right)=9$$ est alors :

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$. Ainsi :
$$F\left(x\right)=3\times \frac{1}{3} x^{3} +6\times \frac{1}{2} x^{2} -5x+c$$
Soit où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(-1\right)=2$$. Il vient alors :
$$F\left(-1\right)=2$$ équivaut successivement à :
$$\left(-1\right)^{3} +3\times \left(-1\right)^{2} -5\times \left(-1\right)+c=2$$
$$-1+3+5+c=2$$
$$7+c=2$$
$$c=2-7$$
$$c=-5$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(-1\right)=2$$ est alors :

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$.
Soit $$f\left(x\right)=\frac{4}{x^{{\color{red}{2}}} } -\frac{2}{x^{{\color{blue}{3}}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-4}{\left({\color{red}{2}}-1\right)x^{{\color{red}{2}}-1} }- \frac{-2}{\left({\color{blue}{3}}-1\right)x^{{\color{blue}{3}}-1} } +c$$
$$F\left(x\right)=-\frac{4}{1x^{1} } +\frac{2}{2x^{2} }+c$$
Ainsi : où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(2\right)=5$$. Il vient alors :
$$F\left(2\right)=5$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{4}{2} +\frac{1}{2^{2} } +c=5$$
$$-2+\frac{1}{4} +c=5$$
$$-\frac{8}{4} +\frac{1}{4} +c=5$$
$$-\frac{7}{4} +c=5$$
$$c=5+\frac{7}{4}$$
$$c=\frac{20}{4} +\frac{7}{4}$$
$$c=\frac{27}{4}$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(2\right)=5$$ est alors :

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$.
Soit $$f\left(x\right)=\frac{4}{\sqrt{x }}-\frac{8}{x }$$ , on a alors :
$$f(x)=4\times{\color{red}\frac{1}{\sqrt{x}}}-8\times{\color{blue}\frac{1}{x}}$$
$$F\left(x\right)=4\times{2\sqrt{x}}-8\times{\ln(x)} +c$$
$$F\left(x\right)=8\times{\sqrt{x}}-8\ln{(x)} +c$$
Ainsi : où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(1\right)=2$$. Il vient alors :
$$F\left(1\right)=2$$ équivaut successivement à :
$$8\sqrt{1} -8\ln \left(1\right)+c=2$$
$$8\times 1-8\times 0+c=2$$
$$8+c=2$$
$$c=2-8$$
Ainsi : $$c=-6$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(1\right)=2$$ est alors :

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$.
Soit $$f\left(x\right)=4e^{{\color{red}{2}}x} +3e^{{\color{blue}{6}}x}$$ ainsi :
$$F\left(x\right)=\frac{4}{{\color{red}{{\color{red}{2}}}}} e^{{\color{red}{2}}x} +\frac{3}{{\color{blue}{6}}} e^{{\color{blue}{6}}x} +c$$
Finalement : où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(0\right)=-3$$. Il vient alors :
$$F\left(0\right)=-3$$ équivaut successivement à :
$$2e^{2\times 0} +\frac{1}{2} e^{6\times 0} +c=-3$$
$$2e^{0} +\frac{1}{2} e^{0} +c=-3$$
$$2\times 1+\frac{1}{2} \times 1+c=-3$$
$$2+\frac{1}{2} +c=-3$$
$$\frac{4}{2} +\frac{1}{2} +c=-3$$
$$\frac{5}{2} +c=-3$$
$$c=-3-\frac{5}{2}$$
$$c=-\frac{6}{2} -\frac{5}{2}$$
$$c=-\frac{11}{2}$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(0\right)=-3$$ est alors :