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Calculs de dérivées : (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\left(\cos \left(ax+b\right)\right) - Exercice 2

10 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(6x+2)f\left(x\right)=\sin \left(6x+2 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=sin⁡(6x+2)f\left(x\right)=\sin \left(\red{6}x+\blue{2} \right)
On reconnait la formule (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=6\red{a=6} et b=2\blue{b=2}
Il en résulte donc que :
f′(x)=6cos⁡(6x+2)f'\left(x\right)=\red{6}\cos \left(\red{6}x+\blue{2} \right)

Question 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(−11x+7)f\left(x\right)=\sin \left(-11x+7 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=sin⁡(−11x+7)f\left(x\right)=\sin \left(\red{-11}x+\blue{7} \right)
On reconnait la formule (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−11\red{a=-11} et b=7\blue{b=7}
Il en résulte donc que :
f′(x)=−11cos⁡(−11x+7)f'\left(x\right)=\red{-11}\cos \left(\red{-11}x+\blue{7} \right)

Question 3

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(8x−6)f\left(x\right)=\sin \left(8x-6 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=sin⁡(8x−6)f\left(x\right)=\sin \left(\red{8}x\blue{-6} \right)
On reconnait la formule (sin⁡(ax+b))′=a(cos⁡(ax+b))\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=8\red{a=8} et b=−6\blue{b=-6}
Il en résulte donc que :
f′(x)=8cos⁡(8x−6)f'\left(x\right)=\red{8}\cos \left(\red{8}x\blue{-6} \right)
Question 4

f(x)=4sin⁡(7x+π3)f\left(x\right)=4\sin \left(7x+\frac{\pi }{3}\right)

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=ksin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=k×acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\purple{k}\times\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=4sin⁡(7x+π3)f\left(x\right)=\purple{4}\sin \left(\red{7}x+\blue{\frac{\pi }{3}} \right)
On reconnait la formule k(sin⁡(ax+b))′=k×a(cos⁡(ax+b))\purple{k}\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\purple{k}\times\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=7\red{a=7} ; b=π3\blue{b=\frac{\pi }{3}} et k=4\purple{k=4}
Il en résulte donc que :
f′(x)=4×7cos⁡(7x+π3)f'\left(x\right)=\purple{4}\times\red{7}\cos \left(\red{7}x+\blue{\frac{\pi }{3}} \right)
Ainsi :
f′(x)=28cos⁡(7x+π3)f'\left(x\right)=28\cos \left(7x+\frac{\pi }{3} \right)

Question 5

f(x)=8sin⁡(−5x+π7)f\left(x\right)=8\sin \left(-5x+\frac{\pi }{7}\right)

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=ksin⁡(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=k×acos⁡(ax+b)f'\left(x\right)=\purple{k}\times\red{a}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=8sin⁡(−5x+π7)f\left(x\right)=\purple{8}\sin \left(\red{-5}x+\blue{\frac{\pi }{7}} \right)
On reconnait la formule k(sin⁡(ax+b))′=k×a(cos⁡(ax+b))\purple{k}\left(\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =\purple{k}\times\red{a}\left(\cos\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right) où a=−5\red{a=-5} ; b=π7\blue{b=\frac{\pi }{7}} et k=8\purple{k=8}
Il en résulte donc que :
f′(x)=8×(−5)cos⁡(−5x+π7)f'\left(x\right)=\purple{8}\times(\red{-5})\cos \left(\red{-5}x+\blue{\frac{\pi }{7}} \right)
Ainsi :
f′(x)=−40cos⁡(−5x+π7)f'\left(x\right)=-40\cos \left(-5x+\frac{\pi }{7} \right)

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