Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques

Calculs de dérivées : (cos(ax+b))=a(sin(ax+b))\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\left(\sin \left(ax+b\right)\right) - Exercice 2

10 min
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Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos(6x2π5)f\left(x\right)=\cos \left(6x-\frac{2\pi }{5} \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f(x)=asin(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos(6x2π5)f\left(x\right)=\cos \left(\red{6}x\blue{-\frac{2\pi }{5}} \right)
On reconnait la formule (cos(ax+b))=a(sin(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)a=6\red{a=6} et b=2π5\blue{b=-\frac{2\pi }{5}}
Il en résulte donc que :
f(x)=6sin(6x2π5)f'\left(x\right)=-\red{6}\sin \left(\red{6}x\blue{-\frac{2\pi }{5}} \right)

Question 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos(7x+11)f\left(x\right)=\cos \left(-7x+11 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f(x)=asin(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos(7x+11)f\left(x\right)=\cos \left(\red{-7}x+\blue{11} \right)
On reconnait la formule (cos(ax+b))=a(sin(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)a=7\red{a=-7} et b=11\blue{b=11}
Il en résulte donc que :
f(x)=(7)sin(7x+11)f'\left(x\right)=-(\red{-7})\sin \left(\red{-7}x+\blue{11} \right)
f(x)=7sin(7x+11)f'\left(x\right)=\red{7}\sin \left(\red{-7}x+\blue{11} \right)
Question 3

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos(8x4)f\left(x\right)=\cos \left(8x-4\right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa et bb deux réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos(ax+b)f\left(x\right)=\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f(x)=asin(ax+b)f'\left(x\right)=-\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=cos(8x4)f\left(x\right)=\cos \left(\red{8}x\blue{-4} \right)
On reconnait la formule (cos(ax+b))=a(sin(ax+b))\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)a=8\red{a=8} et b=4\blue{b=-4}
Il en résulte donc que :
f(x)=8sin(8x4)f'\left(x\right)=-\red{8}\sin \left(\red{8}x\blue{-4} \right)

Question 4

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=5cos(7x+π6)f\left(x\right)=5\cos \left(7x+\frac{\pi }{6} \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=kcos(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f(x)=k×asin(ax+b)f'\left(x\right)=-\purple{k}\times\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=5cos(7x+π6)f\left(x\right)=5\cos \left(\red{7}x+\blue{\frac{\pi }{6}} \right)
On reconnait la formule k(cos(ax+b))=k×a(sin(ax+b))\purple{k}\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\purple{k}\times\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)a=7\red{a=7} ; b=π6\blue{b=\frac{\pi }{6}} et k=5\purple{k=5}
Il en résulte donc que :
f(x)=5×7sin(7x+π6)f'\left(x\right)=-\purple{5}\times\red{7}\sin \left(\red{7}x+\blue{\frac{\pi }{6}} \right)
Ainsi :
f(x)=35sin(7x+π6)f'\left(x\right)=-35\sin \left(7x+\frac{\pi }{6} \right)

Question 5

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=9cos(4x8)f\left(x\right)=9\cos \left(-4x-8 \right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soient aa ; bb et kk trois réels . Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=kcos(ax+b)f\left(x\right)=\purple{k}\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f(x)=k×asin(ax+b)f'\left(x\right)=-\purple{k}\times\red{a}\sin \left(\red{a}x+\blue{b} \right)
ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Soit f(x)=9cos(4x8)f\left(x\right)=9\cos \left(\red{-4}x\blue{-8} \right)
On reconnait la formule k(cos(ax+b))=k×a(sin(ax+b))\purple{k}\left(\cos \left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)^{'} =-\purple{k}\times\red{a}\left(\sin\left(\red{a}x+\blue{b} \right)\right)a=4\red{a=-4} ; b=8\blue{b=-8} et k=9\purple{k=9}
Il en résulte donc que :
f(x)=9×(4)sin(4x8)f'\left(x\right)=-\purple{9}\times(\red{-4})\sin \left(\red{-4}x\blue{-8} \right)
Ainsi :
f(x)=36sin(4x8)f'\left(x\right)=36\sin \left(-4x-8 \right)