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Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques
Calculs de dérivées avec les fonctions
cos
(
x
)
\cos\left(x\right)
cos
(
x
)
et
sin
(
x
)
\sin\left(x\right)
sin
(
x
)
- Exercice 2
5 min
15
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
C
a
l
c
u
l
e
r
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
COMPETENCES
:
C
a
l
c
u
l
er
Question 1
Soit
f
f
f
la fonction définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
f\left(x\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
. Calculer la dérivée de
f
f
f
.
Correction
Soit
f
f
f
une fonction dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
définie par
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
f\left(x\right)=\sin \left(x \right)
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
.
Pour tout réel
x
x
x
, on a alors :
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
Soit
f
f
f
une fonction dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
définie par
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
f\left(x\right)=\cos \left(x \right)
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
.
Pour tout réel
x
x
x
, on a alors :
f
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
f
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
On reconnaît la forme
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}
(
uv
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
avec
u
(
x
)
=
sin
(
x
)
u\left(x\right)=\sin \left(x\right)
u
(
x
)
=
sin
(
x
)
et
v
(
x
)
=
cos
(
x
)
v\left(x\right)=\cos \left(x\right)
v
(
x
)
=
cos
(
x
)
Ainsi :
u
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
u'\left(x\right)=\cos \left(x\right)
u
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
et
v
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)
v
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
.
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
×
cos
(
x
)
+
sin
(
x
)
×
(
−
sin
(
x
)
)
f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
×
cos
(
x
)
+
sin
(
x
)
×
(
−
sin
(
x
)
)
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
−
sin
2
(
x
)
f'\left(x\right)=\cos ^{2} \left(x\right)-\sin ^{2} \left(x\right)
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
−
sin
2
(
x
)
Question 2
Soit
I
I
I
un intervalle que l'on ne cherchera pas à déterminer.
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
I
I
I
telle que
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
sin
(
x
)
. Calculer la dérivée de
f
f
f
.
Correction
Soit
f
f
f
une fonction dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
définie par
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
f\left(x\right)=\sin \left(x \right)
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
.
Pour tout réel
x
x
x
, on a alors :
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
Soit
f
f
f
une fonction dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
définie par
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
f\left(x\right)=\cos \left(x \right)
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
.
Pour tout réel
x
x
x
, on a alors :
f
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
f
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
On reconnaît la forme
(
u
v
)
′
=
u
′
v
−
u
v
′
v
2
\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}
(
v
u
)
′
=
v
2
u
′
v
−
u
v
′
avec
u
(
x
)
=
sin
(
x
)
u\left(x\right)=\sin \left(x\right)
u
(
x
)
=
sin
(
x
)
et
v
(
x
)
=
cos
(
x
)
v\left(x\right)=\cos \left(x\right)
v
(
x
)
=
cos
(
x
)
Ainsi :
u
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
u'\left(x\right)=\cos \left(x\right)
u
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
et
v
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)
v
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
.
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
×
cos
(
x
)
−
sin
(
x
)
×
(
−
sin
(
x
)
)
cos
2
(
x
)
f'\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
cos
(
x
)
×
cos
(
x
)
−
sin
(
x
)
×
(
−
sin
(
x
)
)
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
. On rappelle que
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
=
1
\color{blue}\boxed{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1}
c
o
s
2
(
x
)
+
s
i
n
2
(
x
)
=
1
Ainsi :
f
′
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}
f
′
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
1