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Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole-La Réunion Juin 2021 - Exercice 1

12 min
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La tension uu aux bornes d’un générateur, exprimée en volt, dépendant du temps tt, exprimé en seconde, est donnée à l’instant tt par : u(t)=120cos⁡(70t)−120sin⁡(70t)u\left(t\right)=120\cos \left(70t\right)-120\sin \left(70t\right)
Question 1

Montrer que, pour tout tt de l’intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, u(t)=1202cos⁡(70t+π4)u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right)

Correction
Pour cette question, nous allons développer l'expression u(t)=1202cos⁡(70t+π4)u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right) et vérifier que nous obtenons bien u(t)=120cos⁡(70t)−120sin⁡(70t)u\left(t\right)=120\cos \left(70t\right)-120\sin \left(70t\right) .
  • cos⁡(a+b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)\cos \left(a+b\right)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)-\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)
    • u(t)=1202cos⁡(70t+π4)u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right) équivaut successivement à :
    u(t)=1202(cos⁡(70t)cos⁡(π4)−sin⁡(70t)sin⁡(π4))u\left(t\right)=120\sqrt{2} \left(\cos \left(70t\right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)-\sin \left(70t\right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)
    u(t)=1202(cos⁡(70t)×22−sin⁡(70t)×22)u\left(t\right)=120\sqrt{2} \left(\cos \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} -\sin \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} \right)
    u(t)=1202×cos⁡(70t)×22−1202×sin⁡(70t)×22u\left(t\right)=120\sqrt{2} \times \cos \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} -120\sqrt{2} \times \sin \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2}
    u(t)=120×cos⁡(70t)×(2)22−120×sin⁡(70t)×(2)22u\left(t\right)=120\times \cos \left(70t\right)\times \frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2} -120\times \sin \left(70t\right)\times \frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2}
    u(t)=120×cos⁡(70t)×22−120×sin⁡(70t)×22u\left(t\right)=120\times \cos \left(70t\right)\times \frac{2}{2} -120\times \sin \left(70t\right)\times \frac{2}{2}
    u(t)=120×cos⁡(70t)−120×sin⁡(70t)u\left(t\right)=120\times \cos \left(70t\right)-120\times \sin \left(70t\right)
    Ainsi :
    u(t)=120cos⁡(70t)−120sin⁡(70t)u\left(t\right)=120\cos \left(70t\right)-120\sin \left(70t\right)

    Question 2

    En déduire la fréquence f=ω2πf=\frac{\omega }{2\pi } , exprimée en Hz, délivrée par le générateur, où ω\omega désigne la pulsation.
    On arrondira le résultat à l’unité.

    Correction
    Nous savons que u(t)=1202cos⁡(70t+π4)u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right) qui est de la forme f(t)=Acos⁡(ωt+φ)f\left(t\right)=A\cos \left(\omega t+\varphi \right) où ww est la pulsation.
    Ainsi la pulsation ω\omega est égale à 7070 et la fréquence ff est alors égale à f=ω2πf=\frac{\omega }{2\pi } .
    Il en résulte donc que : f=702πf=\frac{70 }{2\pi } et donc
    f≈11f\approx 11 Hz

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