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Les fonctions circulaires ou les fonctions trigonométriques
Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole-La Réunion Juin 2021 - Exercice 1
12 min
30
La tension
u
u
u
aux bornes d’un générateur, exprimée en volt, dépendant du temps
t
t
t
, exprimé en seconde, est donnée à l’instant
t
t
t
par :
u
(
t
)
=
120
cos
(
70
t
)
−
120
sin
(
70
t
)
u\left(t\right)=120\cos \left(70t\right)-120\sin \left(70t\right)
u
(
t
)
=
120
cos
(
70
t
)
−
120
sin
(
70
t
)
Question 1
Montrer que, pour tout
t
t
t
de l’intervalle
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
,
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
π
4
)
u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right)
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
4
π
)
Correction
Pour cette question, nous allons développer l'expression
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
π
4
)
u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right)
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
4
π
)
et vérifier que nous obtenons bien
u
(
t
)
=
120
cos
(
70
t
)
−
120
sin
(
70
t
)
u\left(t\right)=120\cos \left(70t\right)-120\sin \left(70t\right)
u
(
t
)
=
120
cos
(
70
t
)
−
120
sin
(
70
t
)
.
cos
(
a
+
b
)
=
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
\cos \left(a+b\right)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)-\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)
cos
(
a
+
b
)
=
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
π
4
)
u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right)
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
4
π
)
équivaut successivement à :
u
(
t
)
=
120
2
(
cos
(
70
t
)
cos
(
π
4
)
−
sin
(
70
t
)
sin
(
π
4
)
)
u\left(t\right)=120\sqrt{2} \left(\cos \left(70t\right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)-\sin \left(70t\right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)
u
(
t
)
=
120
2
(
cos
(
70
t
)
cos
(
4
π
)
−
sin
(
70
t
)
sin
(
4
π
)
)
u
(
t
)
=
120
2
(
cos
(
70
t
)
×
2
2
−
sin
(
70
t
)
×
2
2
)
u\left(t\right)=120\sqrt{2} \left(\cos \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} -\sin \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} \right)
u
(
t
)
=
120
2
(
cos
(
70
t
)
×
2
2
−
sin
(
70
t
)
×
2
2
)
u
(
t
)
=
120
2
×
cos
(
70
t
)
×
2
2
−
120
2
×
sin
(
70
t
)
×
2
2
u\left(t\right)=120\sqrt{2} \times \cos \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} -120\sqrt{2} \times \sin \left(70t\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2}
u
(
t
)
=
120
2
×
cos
(
70
t
)
×
2
2
−
120
2
×
sin
(
70
t
)
×
2
2
u
(
t
)
=
120
×
cos
(
70
t
)
×
(
2
)
2
2
−
120
×
sin
(
70
t
)
×
(
2
)
2
2
u\left(t\right)=120\times \cos \left(70t\right)\times \frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2} -120\times \sin \left(70t\right)\times \frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2}
u
(
t
)
=
120
×
cos
(
70
t
)
×
2
(
2
)
2
−
120
×
sin
(
70
t
)
×
2
(
2
)
2
u
(
t
)
=
120
×
cos
(
70
t
)
×
2
2
−
120
×
sin
(
70
t
)
×
2
2
u\left(t\right)=120\times \cos \left(70t\right)\times \frac{2}{2} -120\times \sin \left(70t\right)\times \frac{2}{2}
u
(
t
)
=
120
×
cos
(
70
t
)
×
2
2
−
120
×
sin
(
70
t
)
×
2
2
u
(
t
)
=
120
×
cos
(
70
t
)
−
120
×
sin
(
70
t
)
u\left(t\right)=120\times \cos \left(70t\right)-120\times \sin \left(70t\right)
u
(
t
)
=
120
×
cos
(
70
t
)
−
120
×
sin
(
70
t
)
Ainsi :
u
(
t
)
=
120
cos
(
70
t
)
−
120
sin
(
70
t
)
u\left(t\right)=120\cos \left(70t\right)-120\sin \left(70t\right)
u
(
t
)
=
120
cos
(
70
t
)
−
120
sin
(
70
t
)
Question 2
En déduire la fréquence
f
=
ω
2
π
f=\frac{\omega }{2\pi }
f
=
2
π
ω
, exprimée en Hz, délivrée par le générateur, où
ω
\omega
ω
désigne la pulsation.
On arrondira le résultat à l’unité.
Correction
Nous savons que
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
π
4
)
u\left(t\right)=120\sqrt{2} \cos \left(70t+\frac{\pi }{4} \right)
u
(
t
)
=
120
2
cos
(
70
t
+
4
π
)
qui est de la forme
f
(
t
)
=
A
cos
(
ω
t
+
φ
)
f\left(t\right)=A\cos \left(\omega t+\varphi \right)
f
(
t
)
=
A
cos
(
ω
t
+
φ
)
où
w
w
w
est la pulsation.
Ainsi la pulsation
ω
\omega
ω
est égale à
70
70
70
et la fréquence
f
f
f
est alors égale à
f
=
ω
2
π
f=\frac{\omega }{2\pi }
f
=
2
π
ω
.
Il en résulte donc que :
f
=
70
2
π
f=\frac{70 }{2\pi }
f
=
2
π
70
et donc
f
≈
11
f\approx 11
f
≈
11
Hz