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Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Antilles–Guyane septembre 2022 - Exercice 1

12 min
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On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right) .
Question 1

Montrer que ff est solution de l’équation différentielle : y′′+y=0y''+y=0 .

Correction
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(x)f\left(x\right)=\sin \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=cos⁡(x)f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−sin⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
Soit ff la fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right) .
Il vient :
f′(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)
Puis :
f′′(x)=−cos⁡(x)−sin⁡(x)f''\left(x\right)=-\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)
Or :
f′′(x)+f(x)=−cos⁡(x)−sin⁡(x)+cos⁡(x)+sin⁡(x)f''\left(x\right)+f\left(x\right)=-\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)
Ainsi :
f′′(x)+f(x)=0f''\left(x\right)+f\left(x\right)=0

Il en résulte donc que ff est solution de l’équation différentielle : y′′+y=0y''+y=0 .
Question 2

Soient aa et bb deux réels, on admet que : cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos\left(a-b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
Montrer que, pour tout nombre réel xx, f(x)=2cos⁡(x−π4)f\left(x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) .

Correction
On introduit la fonction h(x)=2cos⁡(x−π4)h\left(x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) .
D'après le rappel, on sait que : cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos\left(a-b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
h(x)=2cos⁡(x−π4)h\left(x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) équivaut successivement à :
h(x)=2(cos⁡(x)cos⁡(π4)+sin⁡(x)sin⁡(π4))h\left(x\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)
h(x)=2(cos⁡(x)22+sin⁡(x)22)h\left(x\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(x\right)\frac{\sqrt{2}}{2}+\sin\left(x\right)\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
h(x)=cos⁡(x)2×22+sin⁡(x)2×22h\left(x\right)=\cos\left(x\right)\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}+\sin\left(x\right)\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}
h(x)=cos⁡(x)×22+sin⁡(x)×22h\left(x\right)=\cos\left(x\right)\times\frac{2}{2}+\sin\left(x\right)\times\frac{2}{2}
h(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)h\left(x\right)=\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)
Finalement : h(x)=f(x)h\left(x\right)=f\left(x\right)
Il en résulte donc que :
f(x)=2cos⁡(x−π4)f\left(x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)

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