Intégration

Manipuler les propriétés de l'intégrale - Exercice 2

5 min
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Question 1
Soit ff une fonction définie et continue sur [1;5]\left[1;5\right] telles que : ∫13f(x)dx=6\int _{1}^{3}f\left(x\right)dx =6 et ∫35f(x)dx=−2\int _{3}^{5}f\left(x\right)dx =-2

Calculer ∫15f(x)dx\int _{1}^{5}f\left(x\right)dx

Correction
    La relation de Chasles\red{\text{La relation de Chasles}}
  • Soient aa, bb et cc trois réels d'un intervalle II tels que a≤b≤ca \le b \le c .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx =\int _{{\color{blue}{a}}}^{\pink{b}}f\left(x\right)dx +\int _{\pink{b}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx
    • D'après la relation de Chasles nous pouvons écrire que :
    ∫15f(x)dx=∫13f(x)dx+∫35f(x)dx\int _{{\color{blue}{1}}}^{{\color{red}{5}}}f\left(x\right)dx =\int _{{\color{blue}{1}}}^{\pink{3}}f\left(x\right)dx +\int _{\pink{3}}^{{\color{red}{5}}}f\left(x\right)dx
    ∫15f(x)dx=6+(−2)\int _{{\color{blue}{1}}}^{{\color{red}{5}}}f\left(x\right)dx =6+\left(-2\right)
    Ainsi :
    ∫15f(x)dx=4\int _{{\color{blue}{1}}}^{{\color{red}{5}}}f\left(x\right)dx =4
    Question 2

    Calculer ∫15−4f(x)dx\int _{1}^{5}-4f\left(x\right)dx

    Correction
      La lineˊariteˊ\red{\text{La linéarité}}
  • Soient aa et bb deux réels d'un intervalle II tels que a≤ba \le b et kk un réel quelconque .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}\purple{k}f\left(x\right)dx =\purple{k}\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}f\left(x\right)dx
    • D'après le rappel nous pouvons écrire que :
    ∫15(−4)f(x)dx=−4∫15f(x)dx\int _{{\color{blue}{1}}}^{{\color{red}{5}}}\purple{\left(-4\right)}f\left(x\right)dx =\purple{-4}\int _{{\color{blue}{1}}}^{{\color{red}{5}}}f\left(x\right)dx
    ∫15(−4)f(x)dx=−4×4\int _{{\color{blue}{1}}}^{{\color{red}{5}}}\purple{\left(-4\right)}f\left(x\right)dx =\purple{-4}\times 4
    Ainsi :
    ∫15(−4)f(x)dx=−16\int _{{\color{blue}{1}}}^{{\color{red}{5}}}\purple{\left(-4\right)}f\left(x\right)dx =-16
    Question 3

    Calculer ∫53f(x)dx\int _{5}^{3}f\left(x\right)dx

    Correction
  • Soient aa et bb deux réels d'un intervalle II tels que a≤ba \le b et kk un réel quelconque .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx\int _{{\color{red}{b}}}^{{\color{blue}{a}}}f\left(x\right)dx =\purple{-}\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}f\left(x\right)dx
    • D'après le rappel nous pouvons écrire que :
    ∫53f(x)dx=−∫35f(x)dx\int _{{\color{red}{5}}}^{{\color{blue}{3}}}f\left(x\right)dx =\purple{-}\int _{{\color{blue}{3}}}^{{\color{red}{5}}}f\left(x\right)dx
    ∫53f(x)dx=−(−2)\int _{{\color{red}{5}}}^{{\color{blue}{3}}}f\left(x\right)dx =\purple{-}\left(-2\right)
    Ainsi :
    ∫53f(x)dx=2\int _{{\color{red}{5}}}^{{\color{blue}{3}}}f\left(x\right)dx =2
    Question 4

    Calculer ∫22f(x)dx\int _{2}^{2}f\left(x\right)dx

    Correction
      La relation de Chasles\red{\text{La relation de Chasles}}
  • Soient aa, bb et cc trois réels d'un intervalle II tels que a≤b≤ca \le b \le c .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫bbf(x)dx=0\int _{{\color{blue}{b}}}^{{\color{blue}{b}}}f\left(x\right)dx =0
    • D'après le rappel nous pouvons écrire que :
    ∫22f(x)dx=0\int _{{\color{blue}{2}}}^{{\color{blue}{2}}}f\left(x\right)dx =0