Intégration

Manipuler les propriétés de l'intégrale - Exercice 1

6 min
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Question 1
Soient ff et gg deux fonctions définies et continues sur [−4;6]\left[-4;6\right] telles que : ∫−42f(x)dx=4\int _{-4}^{2}f\left(x\right)dx =4 ; ∫26f(x)dx=5\int _{2}^{6}f\left(x\right)dx =5 et ∫−46g(x)dx=7\int _{-4}^{6}g\left(x\right)dx =7

Calculer ∫−46f(x)dx\int _{-4}^{6}f\left(x\right)dx

Correction
    La relation de Chasles\red{\text{La relation de Chasles}}
  • Soient aa, bb et cc trois réels d'un intervalle II tels que a≤b≤ca \le b \le c .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx =\int _{{\color{blue}{a}}}^{\pink{b}}f\left(x\right)dx +\int _{\pink{b}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx
    • D'après la relation de Chasles nous pouvons écrire que :
    ∫−46f(x)dx=∫−42f(x)dx+∫26f(x)dx\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}f\left(x\right)dx =\int _{{\color{blue}{-4}}}^{\pink{2}}f\left(x\right)dx +\int _{\pink{2}}^{{\color{red}{6}}}f\left(x\right)dx
    ∫−46f(x)dx=4+5\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}f\left(x\right)dx =4+5
    Ainsi:
    ∫−46f(x)dx=9\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}f\left(x\right)dx =9
    Question 2

    Calculer ∫−462f(x)dx\int _{-4}^{6}2f\left(x\right)dx

    Correction
      La lineˊariteˊ\red{\text{La linéarité}}
  • Soient aa et bb deux réels d'un intervalle II tels que a≤ba \le b et kk un réel quelconque .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}\purple{k}f\left(x\right)dx =\purple{k}\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}f\left(x\right)dx
    • D'après le rappel nous pouvons écrire que :
    ∫−462f(x)dx=2∫−46f(x)dx\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}\purple{2}f\left(x\right)dx =\purple{2}\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}f\left(x\right)dx
    ∫−462f(x)dx=2×9\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}\purple{2}f\left(x\right)dx =\purple{2}\times 9
    Ainsi :
    ∫−462f(x)dx=18\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}\purple{2}f\left(x\right)dx =18
    Question 3

    Calculer ∫−46−5g(x)dx\int _{-4}^{6}-5g\left(x\right)dx

    Correction
      La lineˊariteˊ\red{\text{La linéarité}}
  • Soient aa et bb deux réels d'un intervalle II tels que a≤ba \le b et kk un réel quelconque .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}\purple{k}f\left(x\right)dx =\purple{k}\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}f\left(x\right)dx
    • D'après le rappel nous pouvons écrire que :
    ∫−46(−5)g(x)dx=−5∫−46g(x)dx\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}\purple{\left(-5\right)}g\left(x\right)dx =\purple{-5}\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}g\left(x\right)dx
    ∫−46(−5)g(x)dx=−5×7\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}\purple{\left(-5\right)}g\left(x\right)dx =\purple{-5}\times 7
    Ainsi :
    ∫−46(−5)g(x)dx=−35\int _{{\color{blue}{-4}}}^{{\color{red}{6}}}\purple{\left(-5\right)}g\left(x\right)dx =-35
    Question 4

    Calculer ∫−46(2f(x)−5g(x))dx\int _{-4}^{6}\left(2f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right)dx

    Correction
      La lineˊariteˊ\red{\text{La linéarité}}
  • Soient aa et bb deux réels d'un intervalle II tels que a≤ba \le b et kk un réel quelconque .
  • Soient ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle II .
  • ∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx =\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}f\left(x\right)dx +\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{b}}}g\left(x\right)dx
    • D'après le rappel nous pouvons écrire que :
    ∫−46(2f(x)−5g(x))dx=∫−462f(x)dx+∫−46(−5)g(x)dx\int _{-4}^{6}\left(2f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right) dx=\int _{-4}^{6}2f\left(x\right) dx+\int _{-4}^{6}\left(-5\right)g\left(x\right) dx
    ∫−46(2f(x)−5g(x))dx=2∫−46f(x)dx−5∫−46g(x)dx\int _{-4}^{6}\left(2f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right) dx=2\int _{-4}^{6}f\left(x\right) dx-5\int _{-4}^{6}g\left(x\right) dx
    ∫−46(2f(x)−5g(x))dx=2×9−5×7\int _{-4}^{6}\left(2f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right) dx=2\times 9-5\times 7
    ∫−46(2f(x)−5g(x))dx=18−35\int _{-4}^{6}\left(2f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right) dx=18-35
    Ainsi :
    ∫−46(2f(x)−5g(x))dx=−17\int _{-4}^{6}\left(2f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right) dx=-17

    Question 5

    Calculer ∫33f(x)dx\int _{3}^{3}f\left(x\right)dx

    Correction
      La relation de Chasles\red{\text{La relation de Chasles}}
  • Soient aa, bb et cc trois réels d'un intervalle II tels que a≤b≤ca \le b \le c .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫bbf(x)dx=0\int _{{\color{blue}{b}}}^{{\color{blue}{b}}}f\left(x\right)dx =0
    • D'après le rappel nous pouvons écrire que :
    ∫33f(x)dx=0\int _{{\color{blue}{3}}}^{{\color{blue}{3}}}f\left(x\right)dx =0