Intégration

Calculs d'intégrales faisant intervenir les primitives de la forme : x↦u′(x)sin⁡(u(x))x\mapsto u'\left(x\right)\sin \left(u\left(x\right)\right) - Exercice 1

15 min
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Il est impeˊratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appreˊhender sereinement les calculs d’inteˊgrales.\red{\text{Il est impératif d'avoir revu le chapitre des primitives pour appréhender sereinement les calculs d'intégrales.}}
Calculer les intégrales suivantes.
Question 1

I=∫π2π2sin⁡(3x)dxI=\int _{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2} }\sin \left(3x\right)dx

Correction
Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Nous avons f(x)=sin⁡(3x)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{3}}x \right) avec a=3{\color{red}{a=3}} et b=0{\color{blue}{b=0}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−13cos⁡(3x)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{3}}\cos \left({\color{red}{3}}x\right)

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫π2π2sin⁡(3x)dx\blue{I=\int _{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2} }\sin \left(3x\right)dx }
    I=∫π2π2sin⁡(3x)dxI=\int _{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2} }\sin \left(3x\right)dx équivaut successivement à :
    I=[−13cos⁡(3x)]π3π2I=\left[-\frac{1}{3} \cos\left(3x\right)\right]_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2} }
    I=F(π2)−F(π3)I=F\left(\frac{\pi }{2} \right)-F\left(\frac{\pi }{3} \right)
    I=−13cos⁡(3×π2)−(−13cos⁡(3×π3))I=-\frac{1}{3} \cos \left(3\times \frac{\pi }{2} \right)-\left(-\frac{1}{3} \cos \left(3\times \frac{\pi }{3} \right)\right)
    I=−13cos⁡(3π2)−(−13cos⁡(π))I=-\frac{1}{3} \cos \left(\frac{3\pi }{2} \right)-\left(-\frac{1}{3} \cos \left(\pi \right)\right)
    I=−13cos⁡(3π2)+13cos⁡(π)I=-\frac{1}{3} \cos \left(\frac{3\pi }{2} \right)+\frac{1}{3} \cos \left(\pi \right)
    I=−13×0+13×(−1)I=-\frac{1}{3} \times 0+\frac{1}{3} \times \left(-1\right)
    Finalement :
    I=−13I=-\frac{1}{3}

    Question 2

    I=∫0π2sin⁡(2x−π2)dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \left(2x-\frac{\pi}{2}\right)dx

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Nous avons f(x)=sin⁡(2x−π2)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{2}}x {\color{blue}{-\frac{\pi}{2}}}\right) avec a=3{\color{red}{a=3}} et b=−π2{\color{blue}{b=-\frac{\pi}{2}}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−12cos⁡(2x−π2)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{2}}\cos \left({\color{red}{2}}x {\color{blue}{-\frac{\pi}{2}}}\right)

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫0π2sin⁡(2x−π2)\blue{I=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \left(2x-\frac{\pi}{2}\right) }
    I=∫0π2sin⁡(2x−π2)dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \left(2x-\frac{\pi}{2}\right)dx équivaut successivement à :
    I=[−12cos⁡(2x−π2)]0π2I=\left[-\frac{1}{2} \cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }
    I=F(π2)−F(0)I=F\left(\frac{\pi }{2} \right)-F\left(0 \right)
    I=−12cos⁡(2×π2−π2)−(−12cos⁡(2×0−π2))I=-\frac{1}{2} \cos \left(2\times \frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{2} \right)-\left(-\frac{1}{2} \cos \left(2\times 0-\frac{\pi }{2} \right)\right)
    I=−12cos⁡(π2)−(−12cos⁡(−π2))I=-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi }{2} \right)-\left(-\frac{1}{2} \cos \left(-\frac{\pi }{2} \right)\right)
    I=−12cos⁡(π2)+12cos⁡(−π2)I=-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi }{2} \right)+\frac{1}{2} \cos \left(-\frac{\pi }{2} \right)
    I=−12×0+12×0I=-\frac{1}{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 0
    Finalement :
    I=0I=0

    Question 3

    I=∫−π2π3sin⁡(4x−π3)dxI=\int _{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{3} }\sin \left(4x-\frac{\pi }{3} \right) dx

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Nous avons f(x)=sin⁡(4x−π3)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{4}}x {\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}}\right) avec a=4{\color{red}{a=4}} et b=−π3{\color{blue}{b=-\frac{\pi}{3}}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−14cos⁡(4x−π3)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{4}}\cos \left({\color{red}{4}}x {\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}}\right)

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫−π2π3sin⁡(4x−π3)dx\blue{I=\int _{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{3} }\sin \left(4x-\frac{\pi }{3} \right) dx}
    I=∫−π2π3sin⁡(4x−π3)dxI=\int _{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{3} }\sin \left(4x-\frac{\pi }{3} \right) dx équivaut successivement à :
    I=[−14cos⁡(4x−π3)]−π2π3I=\left[-\frac{1}{4} \cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)\right]_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{3} }
    I=F(π3)−F(−π2)I=F\left(\frac{\pi }{3} \right)-F\left(-\frac{\pi }{2} \right)
    I=−14cos⁡(4×π3−π3)−(−14cos⁡(4×(−π2)−π3))I=-\frac{1}{4} \cos \left(4\times \frac{\pi }{3} -\frac{\pi }{3} \right)-\left(-\frac{1}{4} \cos \left(4\times \left(-\frac{\pi }{2} \right)-\frac{\pi }{3} \right)\right)
    I=−14cos⁡(4π3−π3)−(−14cos⁡(−4π2−π3))I=-\frac{1}{4} \cos \left(\frac{4\pi }{3} -\frac{\pi }{3} \right)-\left(-\frac{1}{4} \cos \left(-\frac{4\pi }{2} -\frac{\pi }{3} \right)\right)
    I=−14cos⁡(4π3−π3)+14cos⁡(−4π2−π3)I=-\frac{1}{4} \cos \left(\frac{4\pi }{3} -\frac{\pi }{3} \right)+\frac{1}{4} \cos \left(-\frac{4\pi }{2} -\frac{\pi }{3} \right)
    I=−14cos⁡(3π3)+14cos⁡(−4π×32×3−π×23×2)I=-\frac{1}{4} \cos \left(\frac{3\pi }{3} \right)+\frac{1}{4} \cos \left(-\frac{4\pi \times 3}{2\times 3} -\frac{\pi \times 2}{3\times 2} \right)
    I=−14cos⁡(π)+14cos⁡(−12π6−2π6)I=-\frac{1}{4} \cos \left(\pi \right)+\frac{1}{4} \cos \left(-\frac{12\pi }{6} -\frac{2\pi }{6} \right)
    I=−14cos⁡(π)+14cos⁡(−14π6)I=-\frac{1}{4} \cos \left(\pi \right)+\frac{1}{4} \cos \left(-\frac{14\pi }{6} \right)
    I=−14×(−1)+14×12I=-\frac{1}{4} \times \left(-1\right)+\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}
    I=14+18I=\frac{1}{4} +\frac{1}{8}
    I=1×24×2+18I=\frac{1\times 2}{4\times 2} +\frac{1}{8}
    I=28+18I=\frac{2}{8} +\frac{1}{8}
    Finalement :
    I=38I=\frac{3}{8}