Calculs d'intégrales faisant intervenir les primitives de la forme : $$x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$$ - Exercice 1

$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
Soit $$f\left(x\right)=2e^{{\color{red}{3}}x+{\color{blue}{1}}}$$ ainsi :

$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{0}^{1}\left(2e^{3x+1} \right)dx }$$
$$I=\int _{0}^{1}\left(2e^{3x+1} \right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\frac{2}{3} e^{3x+1} \right]_{0}^{1}$$
$$I=F\left(1 \right)-F\left(0 \right)$$
$$I=\frac{2}{3} e^{3\times 1+1} -\frac{2}{3} e^{3\times 0+1}$$
$$I=\frac{2}{3} e^{4} -\frac{2}{3} e^{1}$$
Finalement :

$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
Soit $$f\left(x\right)=4e^{{\color{red}{8}}x{\color{blue}{-5}}}$$ ainsi :
$$F\left(x\right)=\frac{4}{{\color{red}{{\color{red}{8}}}}} e^{{\color{red}{8}}x{\color{blue}{-5}}}$$

$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{-2}^{2}\left(4e^{8x-5} \right)dx }$$
$$I=\int _{-2}^{2}\left(4e^{8x-5} \right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\frac{1}{2}e^{8x-5} \right]_{-2}^{2}$$
$$I=F\left(2 \right)-F\left(-2 \right)$$
$$I=\frac{1}{2} e^{8\times 2-5} -\frac{1}{2} e^{8\times \left(-2\right)-5}$$
$$I=\frac{1}{2} e^{11} -\frac{1}{2} e^{-21}$$
Finalement :

$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
Soit $$f\left(x\right)=2xe^{x^{2}+2}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2} +2}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}}$$ .
$$f\left(x\right)={\color{blue}{2x}}e^{{\color{red}{x^{2}+2}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$e^{{\color{red}{u}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ est :
$$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{1}^{2}\left(2xe^{x^{2} +2} \right)dx }$$
$$I=\int _{1}^{2}\left(2xe^{x^{2} +2} \right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[e^{x^{2} +2} \right]_{1}^{2}$$
$$I=F\left(2 \right)-F\left(1 \right)$$
$$I=e^{2^{2} +2} -e^{1^{2} +2}$$
$$I=e^{4+2} -e^{1+2}$$
Finalement :