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Calculs d'intégrales faisant intervenir les primitives de la forme : x↦u′(x)eu(x)x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} - Exercice 1

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Il est impeˊratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appreˊhender sereinement les calculs d’inteˊgrales.\red{\text{Il est impératif d'avoir revu le chapitre des primitives pour appréhender sereinement les calculs d'intégrales.}}
Calculer les intégrales suivantes.
Question 1

I=∫01(2e3x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(2e^{3x+1} \right)dx

Correction
  • Une primitive de nombre×eax+b\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}} est nombrea×eax+b\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Soit f(x)=2e3x+1f\left(x\right)=2e^{{\color{red}{3}}x+{\color{blue}{1}}} ainsi :
    F(x)=23e3x+1F\left(x\right)=\frac{2}{{\color{red}{{\color{red}{3}}}}} e^{{\color{red}{3}}x+{\color{blue}{1}}}

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫01(2e3x+1)dx\blue{I=\int _{0}^{1}\left(2e^{3x+1} \right)dx }
    I=∫01(2e3x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(2e^{3x+1} \right)dx équivaut successivement à :
    I=[23e3x+1]01I=\left[\frac{2}{3} e^{3x+1} \right]_{0}^{1}
    I=F(1)−F(0)I=F\left(1 \right)-F\left(0 \right)
    I=23e3×1+1−23e3×0+1I=\frac{2}{3} e^{3\times 1+1} -\frac{2}{3} e^{3\times 0+1}
    I=23e4−23e1I=\frac{2}{3} e^{4} -\frac{2}{3} e^{1}
    Finalement :
    I=23(e4−e)I=\frac{2}{3} \left(e^{4} -e\right)

    Question 2

    I=∫−22(4e8x−5)dxI=\int _{-2}^{2}\left(4e^{8x-5} \right)dx

    Correction
  • Une primitive de nombre×eax+b\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}} est nombrea×eax+b\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Soit f(x)=4e8x−5f\left(x\right)=4e^{{\color{red}{8}}x{\color{blue}{-5}}} ainsi :
    F(x)=48e8x−5F\left(x\right)=\frac{4}{{\color{red}{{\color{red}{8}}}}} e^{{\color{red}{8}}x{\color{blue}{-5}}}
    F(x)=12e8x−5F\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{8x-5}

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫−22(4e8x−5)dx\blue{I=\int _{-2}^{2}\left(4e^{8x-5} \right)dx }
    I=∫−22(4e8x−5)dxI=\int _{-2}^{2}\left(4e^{8x-5} \right)dx équivaut successivement à :
    I=[12e8x−5]−22I=\left[\frac{1}{2}e^{8x-5} \right]_{-2}^{2}
    I=F(2)−F(−2)I=F\left(2 \right)-F\left(-2 \right)
    I=12e8×2−5−12e8×(−2)−5I=\frac{1}{2} e^{8\times 2-5} -\frac{1}{2} e^{8\times \left(-2\right)-5}
    I=12e11−12e−21I=\frac{1}{2} e^{11} -\frac{1}{2} e^{-21}
    Finalement :
    I=12(e11−e−21)I=\frac{1}{2} \left(e^{11} -e^{-21} \right)
    Question 3

    I=∫12(2xex2+2)dxI=\int _{1}^{2}\left(2xe^{x^{2} +2} \right)dx

    Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Soit f(x)=2xex2+2f\left(x\right)=2xe^{x^{2}+2}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=x2+2{\color{red}{u\left(x\right)=x^{2} +2}}.
    De plus, u′(x)=2x{\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}} .
    f(x)=2xex2+2f\left(x\right)={\color{blue}{2x}}e^{{\color{red}{x^{2}+2}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=ex2+2F\left(x\right)=e^{{\color{red}{x^{2} +2}}}

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫12(2xex2+2)dx\blue{I=\int _{1}^{2}\left(2xe^{x^{2} +2} \right)dx }
    I=∫12(2xex2+2)dxI=\int _{1}^{2}\left(2xe^{x^{2} +2} \right)dx équivaut successivement à :
    I=[ex2+2]12I=\left[e^{x^{2} +2} \right]_{1}^{2}
    I=F(2)−F(1)I=F\left(2 \right)-F\left(1 \right)
    I=e22+2−e12+2I=e^{2^{2} +2} -e^{1^{2} +2}
    I=e4+2−e1+2I=e^{4+2} -e^{1+2}
    Finalement :
    I=e6−e3I=e^{6} -e^{3}