Intégration

Calculs d'intégrales faisant intervenir les primitives de la forme : x↦u′(x)cos⁡(u(x))x\mapsto u'\left(x\right)\cos \left(u\left(x\right)\right) - Exercice 1

15 min
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Il est impeˊratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appreˊhender sereinement les calculs d’inteˊgrales.\red{\text{Il est impératif d'avoir revu le chapitre des primitives pour appréhender sereinement les calculs d'intégrales.}}
Calculer les intégrales suivantes.
Question 1

I=∫0π2cos⁡(2x)dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos \left(2x\right)dx

Correction
Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Nous avons f(x)=cos⁡(2x)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{2}}x \right) avec a=2{\color{red}{a=2}} et b=0{\color{blue}b=0}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=12sin⁡(2x)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{2}}\sin \left({\color{red}{2}}x\right)

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫0π2cos⁡(2x)dx\blue{I=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos \left(2x\right)dx }
    I=∫0π2cos⁡(2x)dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos \left(2x\right)dx équivaut successivement à :
    I=[12sin⁡(2x)]0π2I=\left[\frac{1}{2} \sin \left(2x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }
    I=F(π2)−F(0)I=F\left(\frac{\pi }{2} \right)-F\left(0\right)
    I=12sin⁡(2×π2)−12sin⁡(2×0)I=\frac{1}{2} \sin \left(2\times \frac{\pi }{2} \right)-\frac{1}{2} \sin \left(2\times 0\right)
    I=12sin⁡(π)−12sin⁡(0)I=\frac{1}{2} \sin \left(\pi \right)-\frac{1}{2} \sin \left(0\right)
    I=12sin⁡(π)−12sin⁡(0)I=\frac{1}{2} \sin \left(\pi \right)-\frac{1}{2} \sin \left(0\right)
    Finalement :
    I=0I=0

    Question 2

    I=∫π6π3cos⁡(3x+π4)dxI=\int _{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} }\cos \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)dx

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Nous avons f(x)=cos⁡(3x+π4)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{3}}x +{\color{blue}\frac{\pi}{4}}\right) avec a=3{\color{red}{a=3}} et b=π4{\color{blue}b=\frac{\pi}{4}}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=13sin⁡(3x+π4)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{3}}\sin \left({\color{red}{3}}x+{\color{blue}\frac{\pi}{4}}\right)

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫π6π3cos⁡(3x+π4)dx\blue{I=\int _{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} }\cos \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)dx }
    I=∫π6π3cos⁡(3x+π4)dxI=\int _{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} }\cos \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)dx équivaut successivement à :
    I=[13sin⁡(3x+π4)]π6π3I=\left[\frac{1}{3} \sin \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} }
    I=F(π3)−F(π6)I=F\left(\frac{\pi }{3} \right)-F\left(\frac{\pi }{6}\right)
    I=13sin(3×π3+π4) −13sin(3×π6+π4) I=\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(3\times \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(3\times \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)\ }
    I=13sin(π+π4) −13sin(π2+π4) I=\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\right)\ }
    I=13sin(5π4) −13sin(3π4) I=\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\frac{5\pi }{4}\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\frac{3\pi }{4}\right)\ }
    I=13×(−22)−13×22I=\frac{1}{3}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}
    I=−26−26I=-\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{6}
    Finalement :
    I=−23I=-\frac{\sqrt{2}}{3}
    Question 3

    I=∫−π60cos⁡(2x−π3)dxI=\int _{-\frac{\pi }{6} }^{0 }\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)dx

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous allons commencer par calculer une primitive de\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}} f\blue{f}
    Nous avons f(x)=cos⁡(2x−π3)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{2}}x {\color{blue}-\frac{\pi}{3}}\right) avec a=2{\color{red}{a=2}} et b=−π3{\color{blue}b=-\frac{\pi}{3}}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=12sin⁡(2x−π3)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{2}}\sin \left({\color{red}{2}}x-{\color{blue}\frac{\pi}{3}}\right)

    Maintenant nous pouvons calculer\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}} I=∫−π60cos⁡(2x−π3)dx\blue{I=\int _{-\frac{\pi }{6} }^{0 }\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)dx}
    I=∫−π60cos⁡(2x−π3)dxI=\int _{-\frac{\pi }{6} }^{0 }\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)dx équivaut successivement à :
    I=[12sin⁡(2x−π3)]−π60I=\left[\frac{1}{2} \sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\right]_{-\frac{\pi }{6} }^{0}
    I=F(0)−F(−π6)I=F\left(0\right)-F\left(-\frac{\pi }{6}\right)
    I=12sin(2×0−π3)−12sin(2×(−π6)−π3)  I=\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(2\times 0-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(2\times \left(-\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{3}\right)\ }\ }
    I=12sin(−π3)−12sin(−2π3)  I=\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\ }\ }
    I=12×(−32)−12×(−32)I=\frac{1}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
    I=−34+34I=-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}
    Finalement :
    I=0I=0