Calculs d'intégrales faisant intervenir les primitives de la forme : $$\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u^{n} \left(x\right)}}$$ - Exercice 1

Soit $$f\left(x\right)=\frac{3}{\left(3x+2\right)^{2}}$$.
$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x+2}}$$ et $${\color{brown}{n=2}}$$
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{3}}}{\left({\color{red}{3x+2}}\right)^{{\color{brown}{2}}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ avec $${\color{brown}{n=2}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$$ est de la forme $$\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$$
$$F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{2}}-1\right)\left(\color{red}{3x+2}\right)^{{\color{brown}{2}-1}} }$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{1}^{2}\left(\frac{3}{\left(3x+2\right)^{2}} \right) dx}$$
$$I=\int _{1}^{2}\left(\frac{3}{\left(3x+2\right)^{2}} \right) dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\frac{-1}{3x+2} \right]_{1}^{2}$$
$$I=F\left(2\right)-F\left(1\right)$$
$$I=\frac{-1}{3\times 2+2} -\left(\frac{-1}{3\times 1+2} \right)$$
$$I=\frac{-1}{8} -\left(\frac{-1}{5} \right)$$
$$I=\frac{-1}{8} +\frac{1}{5}$$
$$I=\frac{-1\times 5}{8\times 5} +\frac{1\times 8}{5\times 8}$$
$$I=\frac{-5}{40} +\frac{8}{40}$$
Finalement :