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Intégration
Calculs d'intégrales en utilisant des primitives - Exercice 2
5 min
20
Il est imp
e
ˊ
ratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appr
e
ˊ
hender sereinement les calculs d’int
e
ˊ
grales.
\red{\text{Il est impératif d'avoir revu le chapitre des primitives pour appréhender sereinement les calculs d'intégrales.}}
Il est imp
e
ˊ
ratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appr
e
ˊ
hender sereinement les calculs d’int
e
ˊ
grales.
Calculer les intégrales suivantes.
Question 1
I
=
∫
π
4
π
2
(
2
cos
(
t
)
−
5
sin
(
t
)
)
d
t
I=\int _{\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(t\right)-5\sin \left(t\right)\right) dt
I
=
∫
4
π
2
π
(
2
cos
(
t
)
−
5
sin
(
t
)
)
d
t
Correction
Comment calculer l'intégrale
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1
ère
étape :
on calcule une primitive de
f
f
f
notée
F
F
F
. On écrira ensuite
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
2
ème
étape :
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
I=F\left(b\right)-F\left(a\right)
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
et on effectue le calcul numérique.
Soit :
f
(
t
)
=
2
cos
(
t
)
−
5
sin
(
t
)
f\left(t\right)=2\cos \left(t\right)-5\sin \left(t\right)
f
(
t
)
=
2
cos
(
t
)
−
5
sin
(
t
)
Alors :
F
(
t
)
=
2
sin
(
t
)
−
5
×
(
−
cos
(
t
)
)
F\left(t\right)=2\sin \left(t\right)-5\times \left(-\cos \left(t\right)\right)
F
(
t
)
=
2
sin
(
t
)
−
5
×
(
−
cos
(
t
)
)
que l'on écrit :
F
(
t
)
=
2
sin
(
t
)
+
5
cos
(
t
)
F\left(t\right)=2\sin \left(t\right)+5\cos \left(t\right)
F
(
t
)
=
2
sin
(
t
)
+
5
cos
(
t
)
Donc :
I
=
[
2
sin
(
t
)
+
5
cos
(
t
)
]
π
4
π
2
I=\left[2\sin \left(t\right)+5\cos \left(t\right)\right]_{\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{2} }
I
=
[
2
sin
(
t
)
+
5
cos
(
t
)
]
4
π
2
π
Il vient alors que :
I
=
[
2
sin
(
t
)
+
5
cos
(
t
)
]
π
4
π
2
I=\left[2\sin \left(t\right)+5\cos \left(t\right)\right]_{\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{2} }
I
=
[
2
sin
(
t
)
+
5
cos
(
t
)
]
4
π
2
π
équivaut successivement à :
I
=
F
(
π
2
)
−
F
(
π
4
)
I=F\left(\frac{\pi }{2} \right)-F\left(\frac{\pi }{4} \right)
I
=
F
(
2
π
)
−
F
(
4
π
)
I
=
2
sin
(
π
2
)
+
5
cos
(
π
2
)
−
(
2
sin
(
π
4
)
+
5
cos
(
π
4
)
)
I=2\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)+5\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)-\left(2\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)+5\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)
I
=
2
sin
(
2
π
)
+
5
cos
(
2
π
)
−
(
2
sin
(
4
π
)
+
5
cos
(
4
π
)
)
I
=
2
×
1
+
5
×
0
−
(
2
×
2
2
+
5
×
2
2
)
I=2\times 1+5\times 0-\left(2\times \frac{\sqrt{2} }{2} +5\times \frac{\sqrt{2} }{2} \right)
I
=
2
×
1
+
5
×
0
−
(
2
×
2
2
+
5
×
2
2
)
I
=
2
+
0
−
(
2
+
5
2
2
)
I=2+0-\left(\sqrt{2} +\frac{5\sqrt{2} }{2} \right)
I
=
2
+
0
−
(
2
+
2
5
2
)
I
=
2
−
2
−
5
2
2
I=2-\sqrt{2} -\frac{5\sqrt{2} }{2}
I
=
2
−
2
−
2
5
2
I
=
2
−
2
2
2
−
5
2
2
I=2-\frac{2\sqrt{2} }{2} -\frac{5\sqrt{2} }{2}
I
=
2
−
2
2
2
−
2
5
2
Finalement :
I
=
2
−
7
2
2
I=2-\frac{7\sqrt{2} }{2}
I
=
2
−
2
7
2
Question 2
I
=
∫
0
1
(
e
t
+
3
t
)
d
t
I=\int _{0}^{1}\left(e^{t} +3t\right) dt
I
=
∫
0
1
(
e
t
+
3
t
)
d
t
Correction
Comment calculer l'intégrale
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1
ère
étape :
on calcule une primitive de
f
f
f
notée
F
F
F
. On écrira ensuite
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
2
ème
étape :
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
I=F\left(b\right)-F\left(a\right)
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
et on effectue le calcul numérique.
Soit :
f
(
t
)
=
e
t
+
3
t
f\left(t\right)=e^{t} +3t
f
(
t
)
=
e
t
+
3
t
Alors :
F
(
t
)
=
e
t
+
3
2
t
2
F\left(t\right)=e^{t} +\frac{3}{2} t^{2}
F
(
t
)
=
e
t
+
2
3
t
2
Donc :
I
=
[
e
t
+
3
2
t
2
]
0
1
I=\left[e^{t} +\frac{3}{2} t^{2}\right]_{0 }^{1 }
I
=
[
e
t
+
2
3
t
2
]
0
1
Il vient alors que :
I
=
[
e
t
+
3
2
t
2
]
0
1
I=\left[e^{t} +\frac{3}{2} t^{2} \right]_{0}^{1}
I
=
[
e
t
+
2
3
t
2
]
0
1
équivaut successivement à :
I
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
I=F\left(1\right)-F\left(0\right)
I
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
I
=
e
1
+
3
2
×
1
2
−
(
e
0
+
3
2
×
0
2
)
I=e^{1} +\frac{3}{2} \times 1^{2} -\left(e^{0} +\frac{3}{2} \times 0^{2} \right)
I
=
e
1
+
2
3
×
1
2
−
(
e
0
+
2
3
×
0
2
)
I
=
e
+
3
2
−
(
1
+
0
)
I=e+\frac{3}{2} -\left(1+0\right)
I
=
e
+
2
3
−
(
1
+
0
)
I
=
e
+
3
2
−
1
I=e+\frac{3}{2} -1
I
=
e
+
2
3
−
1
I
=
e
+
3
2
−
2
2
I=e+\frac{3}{2} -\frac{2}{2}
I
=
e
+
2
3
−
2
2
Finalement :
I
=
e
+
1
2
I=e+\frac{1}{2}
I
=
e
+
2
1