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Calculs d'intégrales en utilisant des primitives - Exercice 2

5 min

\red{\text{Il est impératif d'avoir revu le chapitre des primitives pour appréhender sereinement les calculs d'intégrales.}}

Calculer les intégrales suivantes.

Question 1

$I=\int _{\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(t\right)-5\sin \left(t\right)\right) dt$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(t\right)=2\cos \left(t\right)-5\sin \left(t\right)

Alors :

F\left(t\right)=2\sin \left(t\right)-5\times \left(-\cos \left(t\right)\right)

que l'on écrit :

F\left(t\right)=2\sin \left(t\right)+5\cos \left(t\right)

Donc :

I=\left[2\sin \left(t\right)+5\cos \left(t\right)\right]_{\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{2} }

Il vient alors que :

I=\left[2\sin \left(t\right)+5\cos \left(t\right)\right]_{\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{2} }

équivaut successivement à :

I=F\left(\frac{\pi }{2} \right)-F\left(\frac{\pi }{4} \right)

I=2\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)+5\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)-\left(2\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)+5\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)

I=2\times 1+5\times 0-\left(2\times \frac{\sqrt{2} }{2} +5\times \frac{\sqrt{2} }{2} \right)

I=2+0-\left(\sqrt{2} +\frac{5\sqrt{2} }{2} \right)

I=2-\sqrt{2} -\frac{5\sqrt{2} }{2}

I=2-\frac{2\sqrt{2} }{2} -\frac{5\sqrt{2} }{2}

Finalement :

I=2-\frac{7\sqrt{2} }{2}

Question 2