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Intégration
Calculs d'intégrales en utilisant des primitives - Exercice 1
10 min
25
Il est imp
e
ˊ
ratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appr
e
ˊ
hender sereinement les calculs d’int
e
ˊ
grales.
\red{\text{Il est impératif d'avoir revu le chapitre des primitives pour appréhender sereinement les calculs d'intégrales.}}
Il est imp
e
ˊ
ratif d’avoir revu le chapitre des primitives pour appr
e
ˊ
hender sereinement les calculs d’int
e
ˊ
grales.
Calculer les intégrales suivantes.
Question 1
I
=
∫
0
1
(
2
x
+
1
)
d
x
I=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx
I
=
∫
0
1
(
2
x
+
1
)
d
x
Correction
Comment calculer l'intégrale
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1
ère
étape :
on calcule une primitive de
f
f
f
notée
F
F
F
. On écrira ensuite
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
2
ème
étape :
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
I=F\left(b\right)-F\left(a\right)
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
et on effectue le calcul numérique.
Soit :
f
(
x
)
=
2
x
+
1
f\left(x\right)=2x+1
f
(
x
)
=
2
x
+
1
Alors :
F
(
x
)
=
x
2
+
x
F\left(x\right)=x^{2} +x
F
(
x
)
=
x
2
+
x
Donc :
I
=
[
x
2
+
x
]
0
1
I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}
I
=
[
x
2
+
x
]
0
1
Il vient alors que :
I
=
[
x
2
+
x
]
0
1
I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}
I
=
[
x
2
+
x
]
0
1
équivaut successivement à :
I
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
I=F\left(1\right)-F\left(0\right)
I
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
I
=
(
1
2
+
1
)
−
(
0
2
+
0
)
I=\left(1^{2} +1\right)-\left(0^{2} +0\right)
I
=
(
1
2
+
1
)
−
(
0
2
+
0
)
I
=
2
I=2
I
=
2
Finalement :
∫
0
1
(
2
x
+
1
)
d
x
=
2
\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx=2
∫
0
1
(
2
x
+
1
)
d
x
=
2
Question 2
I
=
∫
−
1
3
(
3
x
−
2
)
d
x
I=\int _{-1}^{3}\left(3x-2\right)dx
I
=
∫
−
1
3
(
3
x
−
2
)
d
x
Correction
Comment calculer l'intégrale
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1
ère
étape :
on calcule une primitive de
f
f
f
notée
F
F
F
. On écrira ensuite
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
2
ème
étape :
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
I=F\left(b\right)-F\left(a\right)
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
et on effectue le calcul numérique.
Soit :
f
(
x
)
=
3
x
−
2
f\left(x\right)=3x-2
f
(
x
)
=
3
x
−
2
Alors :
F
(
x
)
=
3
2
x
2
−
2
x
F\left(x\right)=\frac{3}{2}x^{2} -2x
F
(
x
)
=
2
3
x
2
−
2
x
Donc :
I
=
[
3
2
x
2
−
2
x
]
−
1
3
I=\left[\frac{3}{2}x^{2} -2x\right]_{-1}^{3}
I
=
[
2
3
x
2
−
2
x
]
−
1
3
Il vient alors que :
I
=
[
3
2
x
2
−
2
x
]
−
1
3
I=\left[\frac{3}{2}x^{2} -2x\right]_{-1}^{3}
I
=
[
2
3
x
2
−
2
x
]
−
1
3
équivaut successivement à :
I
=
F
(
3
)
−
F
(
−
1
)
I=F\left(3\right)-F\left(-1\right)
I
=
F
(
3
)
−
F
(
−
1
)
I
=
3
2
×
3
2
−
2
×
3
−
(
3
2
×
(
−
1
)
2
−
2
×
(
−
1
)
)
I=\frac{3}{2} \times 3^{2} -2\times 3-\left(\frac{3}{2} \times \left(-1\right)^{2} -2\times \left(-1\right)\right)
I
=
2
3
×
3
2
−
2
×
3
−
(
2
3
×
(
−
1
)
2
−
2
×
(
−
1
)
)
I
=
27
2
−
6
−
(
3
2
+
2
)
I=\frac{27}{2} -6-\left(\frac{3}{2} +2\right)
I
=
2
27
−
6
−
(
2
3
+
2
)
I
=
27
2
−
6
−
3
2
−
2
I=\frac{27}{2} -6-\frac{3}{2} -2
I
=
2
27
−
6
−
2
3
−
2
I
=
27
2
−
6
×
2
2
−
3
2
−
2
×
2
2
I=\frac{27}{2} -\frac{6\times 2}{2} -\frac{3}{2} -\frac{2\times 2}{2}
I
=
2
27
−
2
6
×
2
−
2
3
−
2
2
×
2
I
=
27
2
−
12
2
−
3
2
−
4
2
I=\frac{27}{2} -\frac{12}{2} -\frac{3}{2} -\frac{4}{2}
I
=
2
27
−
2
12
−
2
3
−
2
4
I
=
4
I=4
I
=
4
Finalement :
∫
−
1
3
(
3
x
−
2
)
d
x
=
4
\int _{-1}^{3}\left(3x-2\right)dx=4
∫
−
1
3
(
3
x
−
2
)
d
x
=
4
Question 3
I
=
∫
−
2
2
x
2
d
x
I=\int _{-2}^{2}x^{2}dx
I
=
∫
−
2
2
x
2
d
x
Correction
Comment calculer l'intégrale
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1
ère
étape :
on calcule une primitive de
f
f
f
notée
F
F
F
. On écrira ensuite
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
2
ème
étape :
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
I=F\left(b\right)-F\left(a\right)
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
et on effectue le calcul numérique.
Soit :
f
(
x
)
=
x
2
f\left(x\right)=x^{2}
f
(
x
)
=
x
2
Alors :
F
(
x
)
=
1
3
x
3
F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3}
F
(
x
)
=
3
1
x
3
Donc :
I
=
[
1
3
x
3
]
−
2
2
I=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-2}^{2}
I
=
[
3
1
x
3
]
−
2
2
Il vient alors que :
I
=
[
1
3
x
3
]
−
2
2
I=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-2}^{2}
I
=
[
3
1
x
3
]
−
2
2
équivaut successivement à :
I
=
F
(
2
)
−
F
(
−
2
)
I=F\left(2\right)-F\left(-2\right)
I
=
F
(
2
)
−
F
(
−
2
)
I
=
1
3
×
2
3
−
1
3
×
(
−
2
)
3
I=\frac{1}{3}\times 2^{3}-\frac{1}{3}\times \left(-2\right)^{3}
I
=
3
1
×
2
3
−
3
1
×
(
−
2
)
3
I
=
1
3
×
8
−
1
3
×
(
−
8
)
I=\frac{1}{3}\times 8-\frac{1}{3}\times \left(-8\right)
I
=
3
1
×
8
−
3
1
×
(
−
8
)
I
=
8
3
+
8
3
I=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}
I
=
3
8
+
3
8
Finalement :
∫
−
2
2
x
2
d
x
=
16
3
\int _{-2}^{2}x^{2}dx=\frac{16}{3}
∫
−
2
2
x
2
d
x
=
3
16
Question 4
I
=
∫
0
1
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
d
x
I=\int _{0}^{1}\left(3x^{2}-2x+3\right)dx
I
=
∫
0
1
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
d
x
Correction
Comment calculer l'intégrale
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1
ère
étape :
on calcule une primitive de
f
f
f
notée
F
F
F
. On écrira ensuite
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
2
ème
étape :
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
I=F\left(b\right)-F\left(a\right)
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
et on effectue le calcul numérique.
Soit :
f
(
x
)
=
3
x
2
−
2
x
+
3
f\left(x\right)=3x^{2}-2x+3
f
(
x
)
=
3
x
2
−
2
x
+
3
Alors :
F
(
x
)
=
x
3
−
x
2
+
3
x
F\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+3x
F
(
x
)
=
x
3
−
x
2
+
3
x
Donc :
I
=
[
x
3
−
x
2
+
3
x
]
0
1
I=\left[x^{3}-x^{2}+3x\right]_{0}^{1}
I
=
[
x
3
−
x
2
+
3
x
]
0
1
Il vient alors que :
I
=
[
x
3
−
x
2
+
3
x
]
0
1
I=\left[x^{3}-x^{2}+3x\right]_{0}^{1}
I
=
[
x
3
−
x
2
+
3
x
]
0
1
équivaut successivement à :
I
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
I=F\left(1\right)-F\left(0\right)
I
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
I
=
1
3
−
1
2
+
3
×
1
−
(
0
3
−
0
2
+
3
×
0
)
I=1^{3}-1^{2}+3\times 1-\left(0^{3}-0^{2}+3\times 0\right)
I
=
1
3
−
1
2
+
3
×
1
−
(
0
3
−
0
2
+
3
×
0
)
I
=
1
−
1
+
3
−
0
I=1-1+3-0
I
=
1
−
1
+
3
−
0
Finalement :
∫
0
1
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
=
3
\int _{0}^{1}\left(3x^{2}-2x+3\right)=3
∫
0
1
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
=
3
Question 5
I
=
∫
−
2
2
(
5
t
3
−
4
t
)
d
t
I=\int _{-2}^{2}\left(5t^{3} -4t\right)dt
I
=
∫
−
2
2
(
5
t
3
−
4
t
)
d
t
Correction
Comment calculer l'intégrale
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
1
ère
étape :
on calcule une primitive de
f
f
f
notée
F
F
F
. On écrira ensuite
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
I
=
[
F
(
x
)
]
a
b
2
ème
étape :
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
I=F\left(b\right)-F\left(a\right)
I
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
et on effectue le calcul numérique.
Soit :
f
(
t
)
=
5
t
3
−
4
t
f\left(t\right)=5t^{3} -4t
f
(
t
)
=
5
t
3
−
4
t
Alors :
F
(
t
)
=
5
4
t
4
−
2
t
2
F\left(t\right)=\frac{5}{4} t^{4} -2t^{2}
F
(
t
)
=
4
5
t
4
−
2
t
2
Donc :
I
=
[
5
4
t
4
−
2
t
2
]
−
3
3
I=\left[\frac{5}{4} t^{4} -2t^{2} \right]_{-3}^{3}
I
=
[
4
5
t
4
−
2
t
2
]
−
3
3
Il vient alors que :
I
=
[
5
4
t
4
−
2
t
2
]
−
3
3
I=\left[\frac{5}{4} t^{4} -2t^{2} \right]_{-3}^{3}
I
=
[
4
5
t
4
−
2
t
2
]
−
3
3
I
=
F
(
3
)
−
F
(
−
3
)
I=F\left(3\right)-F\left(-3\right)
I
=
F
(
3
)
−
F
(
−
3
)
I
=
5
4
×
3
4
−
2
×
3
2
−
(
5
4
×
(
−
3
)
4
−
2
×
(
−
3
)
2
)
I=\frac{5}{4} \times 3^{4} -2\times 3^{2} -\left(\frac{5}{4} \times \left(-3\right)^{4} -2\times \left(-3\right)^{2} \right)
I
=
4
5
×
3
4
−
2
×
3
2
−
(
4
5
×
(
−
3
)
4
−
2
×
(
−
3
)
2
)
I
=
5
4
×
3
4
−
2
×
3
2
−
(
5
4
×
3
4
−
2
×
3
2
)
I=\frac{5}{4} \times 3^{4} -2\times 3^{2} -\left(\frac{5}{4} \times 3^{4} -2\times 3^{2} \right)
I
=
4
5
×
3
4
−
2
×
3
2
−
(
4
5
×
3
4
−
2
×
3
2
)
Finalement :
∫
−
2
2
(
5
t
3
−
4
t
)
d
t
=
0
\int _{-2}^{2}\left(5t^{3} -4t\right)dt=0
∫
−
2
2
(
5
t
3
−
4
t
)
d
t
=
0