Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole-La Réunion Juin 2021 - Exercice 1

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
Nous allons dériver $$F\left(x\right)=\left(x^{2} +3x+1\right)e^{x}$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2} +3x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2x+3$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$F'\left(x\right)=\left(2x+3\right)\times e^{x} +\left(x^{2} +3x+1\right)\times e^{x}$$ . $$\;$$ Nous allons factoriser par $$e^{x}$$ .
$$F'\left(x\right)=\left(2x+3+x^{2} +3x+1\right)\times e^{x}$$
$$F'\left(x\right)=\left(x^{2} +5x+4\right)e^{x}$$
Nous avons donc bien :
Donc la fonction $$F$$ est une primitive de la fonction $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$.

D'après la question précédente, la fonction $$F$$ est une primitive de la fonction $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$.
$$I=\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\left(x^{2} +3x+1\right)e^{x} \right]_{0}^{1}$$
$$I=F\left(1\right)-F\left(0\right)$$
$$I=\left(1^{2} +3\times 1+1\right)e^{1} -\left(0^{2} +3\times 0+1\right)e^{0}$$
Ainsi :