Baccalauréat STI2D Métropole 8 septembre 2026 - Exercice 1

10 min
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On considère la fonction gg définie sur [0;π]\left[0;\pi\right] par g(x)=13sin⁡(x)g\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\left(x\right).
On admet que gg est positive et dérivable sur [0;π]\left[0;\pi\right].
Dans le repère orthogonal (O;i⃗,j⃗)\left(O;\vec{i},\vec{j}\right) ci-dessous, Cg\mathcal{C}_{g} désigne la courbe représentative de gg.
On note II l'aire du domaine hachuré ci-dessus, exprimée en unité d'aire.
Question 1

Écrire II sous la forme d'une intégrale.

Correction
    Inteˊgrale et aire\text{\purple{Intégrale et aire}}
  • Si ff est continue et positive sur [a;b]\left[a;b\right], l'aire du domaine délimité par la courbe de ff, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=ax=a et x=bx=b est égale, en unités d'aire, à ∫abf(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx.
Ici gg est continue et positive sur [0;π]\left[0;\pi\right] ; le domaine hachuré est délimité par Cg\mathcal{C}_{g}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x=0 et x=πx=\pi.
Finalement :
I=∫0π13sin⁡(x)dxI=\int _{0}^{\pi}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\left(x\right) dx
Question 2

Montrer que I=23I=\dfrac{2}{\sqrt{3}}. On détaillera les étapes de calcul.

Correction
    Primitives\text{\purple{Primitives}}
  • Une primitive de x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin\left(x\right) est x↦−cos⁡(x)x\mapsto-\cos\left(x\right).
  • Si FF est une primitive de ff et kk un réel, alors kFkF est une primitive de kfkf.
Une primitive de gg sur [0;π]\left[0;\pi\right] est G(x)=13×(−cos⁡(x))=−13cos⁡(x)G\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\left(-\cos\left(x\right)\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos\left(x\right).
    Calcul d’une inteˊgrale\text{\purple{Calcul d'une intégrale}}
  • Si FF est une primitive de ff sur [a;b]\left[a;b\right], alors ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right).
I=[G(x)]0π=G(π)−G(0)I=\left[G\left(x\right)\right]_{0}^{\pi}=G\left(\pi\right)-G\left(0\right)
G(π)=−13cos⁡(π)=−13×(−1)=13G\left(\pi\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos\left(\pi\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\left(-1\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
G(0)=−13cos⁡(0)=−13×1=−13G\left(0\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos\left(0\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times 1=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}
Donc I=13−(−13)=13+13I=\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Finalement :
I=23≈1,15 u.a.I=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}15\text{ u.a.}

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