Baccalauréat STI2D Métropole 16 juin 2026 - Exercice 1

10 min
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On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=(8x+1)e−xf\left(x\right)=\left(8x+1\right)e^{-x}.
On admet que f(x)⩾0f\left(x\right)\geqslant 0 pour tout xx appartenant à [0;2]\left[0;2\right].
Dans le repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)\left(O;\vec{i},\vec{j}\right) ci-dessous, CfC_{f} désigne la courbe représentative de ff.
On considère la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par : F(x)=−(8x+9)e−xF\left(x\right)=-\left(8x+9\right)e^{-x}.
On admet que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
On note AA l'aire du domaine hachuré sur la figure ci-dessus, en unité d'aire.
Question 1

Écrire AA sous forme d'intégrale.

Correction
    Inteˊgrale et aire\text{\purple{Intégrale et aire}}
  • Si ff est continue et positive sur [a;b]\left[a;b\right], l'aire du domaine délimité par la courbe de ff, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=ax=a et x=bx=b est égale, en unités d'aire, à ∫abf(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx.
Ici ff est continue et positive sur [0;2]\left[0;2\right], et le domaine hachuré est délimité par la courbe CfC_{f}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x=0 et x=2x=2.
Finalement :
A=∫02(8x+1)e−xdxA=\int _{0}^{2}\left(8x+1\right)e^{-x} dx
Question 2

Calculer AA, en détaillant les étapes. On donnera la valeur exacte du résultat, puis une valeur approchée à 10−210^{-2} près.

Correction
    Calcul d’une inteˊgrale\text{\purple{Calcul d'une intégrale}}
  • Si FF est une primitive de ff sur [a;b]\left[a;b\right], alors ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right).
A=∫02f(x)dx=[F(x)]02=F(2)−F(0)A=\int _{0}^{2}f\left(x\right) dx=\left[F\left(x\right)\right]_{0}^{2}=F\left(2\right)-F\left(0\right)
F(2)=−(8×2+9)e−2=−25e−2F\left(2\right)=-\left(8\times 2+9\right)e^{-2}=-25e^{-2}
F(0)=−(8×0+9)e0=−9F\left(0\right)=-\left(8\times 0+9\right)e^{0}=-9
Donc A=−25e−2−(−9)A=-25e^{-2}-\left(-9\right).
Finalement :
A=9−25e−2≈5,62 u.a.A=9-25e^{-2}\approx 5{,}62\text{ u.a.}

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