Variations - Exercice 2

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Question 1
Soit ff la fonction définie sur ]1;+∞[\left]1;+\infty \right[ par : f(x)=2x−(x−1)ln⁡(x−1)f\left(x\right)=2x-\left(x-1\right)\ln \left(x-1\right)

Déterminer la dérivée de ff sur ]1;+∞[\left]1;+\infty \right[.

Correction
ff est dérivable sur ]1;+∞[\left]1;+\infty \right[.
On reconnaît la forme (w−uv)′=w−(u′v+uv′)\left(w-uv\right)'=w-\left(u'v+uv'\right) avec w(x)=2xw\left(x\right)=2x ; u(x)=x−1u\left(x\right)=x-1 et v(x)=ln⁡(x−1)v\left(x\right)=\ln \left(x-1\right).
Ainsi w′(x)=2w'\left(x\right)=2 ; u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1x−1v'\left(x\right)=\frac{1}{x-1} .
Il vient alors que :
f′(x)=2−[1×ln⁡(x−1)+(x−1)×1x−1]f'\left(x\right)=2-\left[1\times \ln \left(x-1\right)+\left(x-1\right)\times \frac{1}{x-1} \right]
f′(x)=2−[ln⁡(x−1)+1]f'\left(x\right)=2-\left[\ln \left(x-1\right)+1\right]
f′(x)=2−ln⁡(x−1)−1f'\left(x\right)=2-\ln \left(x-1\right)-1
f′(x)=1−ln⁡(x−1)f'\left(x\right)=1-\ln \left(x-1\right)

Question 2

Dresser le tableau de variation de ff sur ]1;+∞[\left]1;+\infty \right[.

Correction
Etudions le signe de f′f'.
f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 équivaut successivement à :
1−ln⁡(x−1)≥01-\ln \left(x-1\right)\ge 0
−ln⁡(x−1)≥−1-\ln \left(x-1\right)\ge -1
ln⁡(x−1)≤1\ln \left(x-1\right)\le 1
eln⁡(x−1)≤e1e^{\ln \left(x-1\right)} \le e^{1}
x−1≤ex-1\le e
x≤e+1x\le e+1
Il en résulte donc que :
  • si x∈]1;e+1]x\in\left]1;e+1\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0
  • si x∈[e+1;+∞[x\in\left[e+1;+\infty\right[ alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0
Nous traduisons cela dans un tableau de variation, il vient alors que :

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