Fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques - Exercice 1

25 min
35
Simplifier les expressions suivantes :
Question 1

a(x)=ln(2)+ln(5)a\left(x\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
a(x)=ln(2×5)a\left(x\right)=\ln \left(2\times 5\right)\Leftrightarrow
a(x)=ln(10)a\left(x\right)=\ln \left(10\right)
Question 2

b(x)=ln(3)ln(4)b\left(x\right)=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
b(x)=ln(34)b\left(x\right)=\ln \left(\frac{3}{4} \right)
Question 3

c(x)=3ln(2)+2ln(3)12ln(9)c\left(x\right)=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
c(x)=3ln(2)+2ln(3)12ln(9)c\left(x\right)=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right) équivaut successivement à
c(x)=ln(23)+ln(32)ln(9)c\left(x\right)=\ln \left(2^{3} \right)+\ln \left(3^{2} \right)-\ln \left(\sqrt{9} \right)
c(x)=ln(8)+ln(9)ln(3)c\left(x\right)=\ln \left(8\right)+\ln \left(9\right)-\ln \left(3\right)
c(x)=ln(8×9)ln(3)c\left(x\right)=\ln \left(8\times9\right)-\ln \left(3\right)
c(x)=ln(72)ln(3)c\left(x\right)=\ln \left(72\right)-\ln \left(3\right)
c(x)=ln(723)c\left(x\right)=\ln \left(\frac{72}{3} \right)
c(x)=ln(24)c\left(x\right)=\ln \left(24\right)
Question 4

d(x)=eln3eln6d\left(x\right)=e^{\ln 3} -e^{\ln 6}

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
d(x)=eln3eln6d(x)=36d\left(x\right)=e^{\ln 3} -e^{\ln 6}\Leftrightarrow d\left(x\right)=3-6\Leftrightarrow
d(x)=3d\left(x\right)=-3
Question 5

f(x)=e2+ln(4)eln2f\left(x\right)=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} }

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
Ici on utilise également les règles sur les exponentielles ea+b=ea×ebe^{a+b} =e^{a} \times e^{b}
f(x)=e2+ln(4)eln2f\left(x\right)=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} } équivaut successivement à
f(x)=e2×eln(4)2f\left(x\right)=\frac{e^{2} \times e^{\ln \left(4\right)} }{2}
f(x)=e2×42 f\left(x\right)=\frac{e^{2} \times 4}{2}
f(x)=2e2f\left(x\right)=2e^{2}
Question 6

g(x)=eln(x+1)eln(x)g\left(x\right)=e^{\ln \left(x+1\right)} e^{\ln \left(x\right)}

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
g(x)=eln(x+1)eln(x)g\left(x\right)=e^{\ln \left(x+1\right)} e^{\ln \left(x\right)} équivaut successivement à
g(x)=(x+1)×(x)g\left(x\right)=\left(x+1\right)\times \left(x\right)
g(x)=x2+xg\left(x\right)=x^{2} +x
Question 7

h(x)=ln(35)+ln(3+5)h\left(x\right)=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)

Correction
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
h(x)=ln(35)+ln(3+5)h\left(x\right)=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right) équivaut successivement à
h(x)=ln((35)×(3+5))h\left(x\right)=\ln \left(\left(3-\sqrt{5} \right)\times\left(3+\sqrt{5} \right)\right) .
Ensuite il faut utiliser l'identité remarquable : (ab)×(ab)=a2b2\left(a-b\right)\times \left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}
h(x)=ln(32(5)2)h\left(x\right)=\ln \left(3^{2} -\left(\sqrt{5} \right)^{2} \right)
h(x)=ln(95)h\left(x\right)=\ln \left(9-5\right)
h(x)=ln(4)h\left(x\right)=\ln \left(4\right)