Fonction logarithme népérien

Limites - Exercice 2

25 min
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Question 1
Déterminer la valeur des limites suivantes.

limx1+ln(2x2)\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx1+2x2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi limx1+2x2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=0^{+}
On pose X=2x2X=2x-2.
Ainsi : limX0+ln(X)=\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
limx1+ln(2x2)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right) =-\infty
Question 2

limx2+ln(8x+16)\lim\limits_{x\to -2^{+}} \ln \left(8x+16\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx2+8x+16=0+\lim\limits_{x\to -2^{+}} 8x+16=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi limx2+8x+16=0+\lim\limits_{x\to -2^{+}} 8x+16=0^{+}
On pose X=8x+16X=8x+16.
Ainsi : limX0+ln(X)=\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
limx2+ln(8x+16)=\lim\limits_{x\to -2^{+}} \ln \left(8x+16\right) =-\infty

Question 3

limxln(25x)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(2-5x\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx25x=+\lim\limits_{x\to -\infty } 2-5x=+\infty.
On pose X=25xX=2-5x.
Ainsi : limX+ln(X)=+\lim\limits_{X\to +\infty } \ln \left(X\right) =+\infty.
Par composition :
limxln(25x)=+\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(2-5x\right) =+\infty

Question 4

limxln(1+1x2)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx1+1x2=1\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{1}{x^{2}}=1.
On pose X=1+1x2X=1+\frac{1}{x^{2}}.
Ainsi : limX1ln(X)=0\lim\limits_{X\to 1} \ln \left(X\right) =0.
Par composition :
limxln(1+1x2)=0\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) =0

Question 5

limx+ln(1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{1}{x}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx+1x=0+\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}=0^{+}.
On pose X=1xX=\frac{1}{x}.
Ainsi : limX0+ln(X)=\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
limx+ln(1x)=\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{1}{x}\right) =-\infty

Question 6

limx7ln(x+7)\lim\limits_{x\to 7^{-}} \ln \left(-x+7\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx7x+7=0+\lim\limits_{x\to 7^{-}} -x+7=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi limx7x+7=0+\lim\limits_{x\to 7^{-}} -x+7=0^{+}
On pose X=x+7X=-x+7.
Ainsi : limX0+ln(X)=\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty.
Par composition :
limx7ln(x+7)=\lim\limits_{x\to 7^{-}} \ln \left(-x+7\right) =-\infty
Question 7

limxln(x2)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(x^{2}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limxx2=+\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2}=+\infty.
On pose X=x2X=x^{2}.
Ainsi : limX+ln(X)=+\lim\limits_{X\to +\infty } \ln \left(X\right) =+\infty.
Par composition :
limxln(x2)=+\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(x^{2}\right) =+\infty