Fonction logarithme népérien

Exercices types : 2ème partie - Exercice 3

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Soit ff la fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=ln⁡(1+e−x)f\left(x\right)=\ln \left(1+e^{-x} \right).
On note Γ\Gamma sa courbe représentative dans un repère orthonormal (0;i⃗;j⃗)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right).
Question 1

Etudier le sens de variation de ff.

Correction
On reconnait la forme (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
On a u(x)=1+e−xu\left(x\right)=1+e^{-x} et u′(x)=−e−xu'\left(x\right)=-e^{-x}
Ainsi
f′(x)=−e−x1+e−xf'\left(x\right)=\frac{-e^{-x} }{1+e^{-x} }

Or pour tout réel x∈]−∞;+∞[x\in \left]-\infty ;+\infty \right[, on sait que 1+e−x>01+e^{-x} >0 et que −e−x<0-e^{-x} <0.
De ce fait, f′f' est strictement négative donc ff est strictement décroissante sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[
On en déduit le tableau de variation donné ci-dessous :
Question 2

Démontrer que pour tout nombre réel xx : f(x)=−x+ln⁡(1+ex)f\left(x\right)=-x+\ln \left(1+e^{x} \right).

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • 1e−a=ea\frac{1}{e^{-a} } =e^{a}
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
Pour tout nombre réel xx, on a f(x)=ln⁡(1+e−x)f\left(x\right)=\ln \left(1+e^{-x} \right).
On va factoriser l'expression 1+e−x1+e^{-x} par e−xe^{-x} .
Il vient alors que :
1+e−x=e−x(1+e−xe−x)1+e^{-x} =e^{-x} \left(\frac{1+e^{-x} }{e^{-x} } \right)
1+e−x=e−x(1e−x+e−xe−x)1+e^{-x} =e^{-x} \left(\frac{1}{e^{-x} } +\frac{e^{-x} }{e^{-x} } \right)
1+e−x=e−x(1e−x+1)1+e^{-x} =e^{-x} \left(\frac{1}{e^{-x} } +1\right)
1+e−x=e−x(ex+1)1+e^{-x} =e^{-x} \left(e^{x} +1\right)
On substitue cela dans l'expression de ff.
D'où : f(x)=ln⁡(1+e−x)⇔f(x)=ln⁡(e−x(ex+1))⇔f(x)=ln⁡(e−x)+ln⁡(ex+1)f\left(x\right)=\ln \left(1+e^{-x} \right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\ln \left(e^{-x} \left(e^{x} +1\right)\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\ln \left(e^{-x} \right)+\ln \left(e^{x} +1 \right)
Comme f(x)=ln⁡(e−x)+ln⁡(ex+1)f\left(x\right)=\ln \left(e^{-x} \right)+\ln \left(e^{x} +1 \right) alors
f(x)=−x+ln⁡(ex+1)f\left(x\right)=-x+\ln \left(e^{x} +1 \right)