Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$1+2x>0\Leftrightarrow x>\frac{-1}{2}$$
Ainsi le domaine de définition est :
On calcule la dérivée de $$f$$ puis on dresse les variations de $$f$$.
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=1+2x$$ et $$u'\left(x\right)=2$$
Ainsi
$$x\in \left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$, ainsi $$1+2x>0$$ et $$2>0$$.
Il en résulte que $$f'$$ est strictement positive.
Donc $$f$$ est strictement croissante sur $$\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$.

$$g\left(x\right)=\ln \left(1+2x\right)-x$$
On calcule la dérivée de $$g$$.
$$g'\left(x\right)=\frac{2}{1+2x} -1\Leftrightarrow g'\left(x\right)=\frac{2-1-2x}{1+2x} \Leftrightarrow g'\left(x\right)=\frac{1-2x}{1+2x}$$
$$x\in \left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$, ainsi $$1+2x>0$$.
Le signe de $$g'$$ dépend donc du numérateur $$1-2x$$.
$$1-2x>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2} .$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$1-2x$$ dès que $$x<\frac{1}{2}$$

Or $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\ln \left(1+2\times \frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \Leftrightarrow g\left(\frac{1}{2} \right)=\ln \left(2\right)-\frac{1}{2}$$ et $$g\left(\frac{1}{2} \right)>0$$