Fonction logarithme népérien

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

20 min
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On appelle ff la fonction définie sur l'intervalle ]12;+[\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[par f(x)=ln(1+2x)f\left(x\right)=\ln \left(1+2x\right).
Question 1

Justifier que ff est strictement croissante sur ]12;+[\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[.

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si 1+2x>0x>121+2x>0\Leftrightarrow x>\frac{-1}{2}
Ainsi le domaine de définition est :
Df=]12;+[D_{f} =\left]\frac{-1}{2} ;+\infty \right[

On calcule la dérivée de ff puis on dresse les variations de ff.
On reconnait la forme (ln(u))=uu\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
On a u(x)=1+2xu\left(x\right)=1+2x et u(x)=2u'\left(x\right)=2
Ainsi
f(x)=21+2xf'\left(x\right)=\frac{2}{1+2x}

x]12;+[x\in \left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[, ainsi 1+2x>01+2x>0 et 2>02>0.
Il en résulte que ff' est strictement positive.
Donc ff est strictement croissante sur ]12;+[\left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[.
Question 2

Etudier les variations de gg.
On admet que limx12+g(x)=\lim\limits_{x\to \frac{1}{2} ^{+} } g\left(x\right)=-\infty et limx+g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=-\infty .

Correction
g(x)=ln(1+2x)xg\left(x\right)=\ln \left(1+2x\right)-x
On calcule la dérivée de gg.
g(x)=21+2x1g(x)=212x1+2xg(x)=12x1+2xg'\left(x\right)=\frac{2}{1+2x} -1\Leftrightarrow g'\left(x\right)=\frac{2-1-2x}{1+2x} \Leftrightarrow g'\left(x\right)=\frac{1-2x}{1+2x}
x]12;+[x\in \left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[, ainsi 1+2x>01+2x>0.
Le signe de gg' dépend donc du numérateur 12x1-2x.
12x>0x<12.1-2x>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2} .
Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de 12x1-2x dès que x<12x<\frac{1}{2}

Or g(12)=ln(1+2×12)12g(12)=ln(2)12g\left(\frac{1}{2} \right)=\ln \left(1+2\times \frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \Leftrightarrow g\left(\frac{1}{2} \right)=\ln \left(2\right)-\frac{1}{2} et g(12)>0g\left(\frac{1}{2} \right)>0