Fonction logarithme népérien

Exercices types : 1ère partie - Exercice 3

35 min
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Question 1
PARTIE A
On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par g(x)=22x22ln(x)g\left(x\right)=2-2x^{2}-2\ln \left(x\right).

Calculer la dérivée de la fonction gg et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction gg.

Correction
gg est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
On a, alors : g(x)=4x2xg'\left(x\right)=-4x-\frac{2}{x}
Ici, on n'a pas besoin de tout mettre au même dénominateur. En effet, pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[, on vérifie aisément que : 4x<0-4x<0 et que 2x<0-\frac{2}{x}<0.
Il en résulte alors que , pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[, on a : g(x)<0g'\left(x\right)<0 et de ce fait la fonction gg est strictement croissante sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[.
Nous traduisons cela dans le tableau de variation, ci-dessous :
Question 2

Calculer g(1)g\left(1\right). En déduire le signe de g(x)g\left(x\right) pour xx appartenant à l’intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
Nous avons : g(1)=22×122ln(1)g\left(1\right)=2-2\times 1^{2}-2\ln \left(1\right). Ainsi : g(1)=0g\left(1\right)=0.
Nous allons intégrer cette infirmation dans le tableau de variation de gg. Cela nous donne :
La fonction ff étant continue et strictement décroissante et s'annulant en 11. Il vient alors que :
  • si x]0;1]x\in \left]0;1 \right] alors : g(x)0g\left(x\right)\ge0
  • si x[0;+[x\in \left[0;+\infty \right[ alors : g(x)0g\left(x\right)\le0
  • Nous traduisons cela, dans un tableau de signe pour gg.
    Question 3
    PARTIE B
    Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)xx+12f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x} -x+\frac{1}{2} . On note CfC_{f} sa courbe représentative dans un repère du plan.

    Montrer, que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=g(x)2x2f'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{2x^{2}}.

    Correction
    Introduisons, la fonction hh dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[, telle que : h(x)=ln(x)xh\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x}
    Ici on reconnaît la forme : (uv)=uvuvv2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ln(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=xv\left(x\right)=x.
    Ainsi u(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v(x)=1v'\left(x\right)=1.
    Il vient alors que :
    h(x)=1x×xln(x)x2h'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x-\ln \left(x\right)}{x^{2} } équivaut successivement à :
    h(x)=1ln(x)x2h'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^{2} }

    Nous allons pouvoir maintenant calculer la dérivée de ff. Ainsi :
    f(x)=1ln(x)x21f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^{2} } -1. Nous allons tout mettre au même dénominateur :
    f(x)=1ln(x)x2x2f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)-x^{2}}{x^{2} }
    Il en résulte que :
    f(x)=g(x)2x2f'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{2x^{2}}

    Question 4

    Dresser le tableau de variation de ff.

    Correction
    D'après la question 22, nous avons déterminer le signe de gg. Nous regroupons dans le tableau de variation, ci-dessous :
    Question 5

    Déterminer une équation de la tangente (T)\left(T\right) à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11.

    Correction
    L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
    Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
    1ère étape : calculer f(1)f\left(1\right)
    f(1)=ln(1)11+12f\left(1\right)=\frac{\ln \left(1\right)}{1} -1+\frac{1}{2}
    f(1)=12f\left(1\right)=-\frac{1}{2}
    2ème étape : calculer f(1)f'\left(1\right)
    f(1)=1ln(1)1212f'\left(1\right)=\frac{1-\ln \left(1\right)-1^{2}}{1^{2} }
    f(1)=0f'\left(1\right)=0
    3ème étape : on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
    On sait que :
    y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
    y=0×(x1)12y=0\times \left(x-1\right)-\frac{1}{2}
    y=12y=-\frac{1}{2}
    Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11 est alors :
    y=12y=-\frac{1}{2}
    .