Etude de fonction - Exercice 1

On reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que $$f'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} \Leftrightarrow$$
$$2\ln \left(x\right)+2\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -\frac{2}{2} \Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-1} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{-1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$2\ln \left(x\right)+2$$ dès que $$x\ge e^{-1}$$

De plus $$f\left(e^{-1} \right)=2\left(e^{-1} \right)\ln \left(e^{-1} \right)-3\Leftrightarrow$$$$f\left(e^{-1} \right)=-2e^{-1} -3$$

A la calculatrice, on vérifie que :
$$f\left(2,06\right)\approx -0,022$$ et $$f\left(2,07\right)\approx 0,012$$ .
Or $$0\in \left]-0,022;0,012\right]$$, on en déduit que

Sur $$\left]0;e^{-1} \right]$$, la fonction $$f$$est continue et admet -3 comme maximum.
La fonction $$f$$ est strictement négative.
Sur $$\left[e^{-1} ;+\infty \right[$$, la fonction $$f$$est continue et strictement croissante et $$f\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$f\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[e^{-1} ;\alpha \right]$$ et $$f\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;+\infty \right[$$.
On résume cela dans un tableau de signe