Fonction logarithme népérien

Equations et inéquations - Exercice 3

30 min
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Pour chaque question, préciser l'ensemble de résolution de l'inéquation puis la résoudre.
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\ge \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A\ge B
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A\le B
Question 1

ln(x)>1\ln \left(x\right)>1

Correction
L'inéquation est définie si et seulement si x>0x>0
Ainsi le domaine de définition est
Df=]0;+[D_{f} =\left]0;+\infty \right[

ln(x)>1ln(x)>ln(e)x>e\ln \left(x\right)>1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(e\right)\Leftrightarrow x>e
Le domaine de définition impose que x>0x>0 et l'inéquation est vraie si x>ex>e. On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle
S=]e;+[S=\left]e;+\infty \right[
Question 2

ln(2x+2)0\ln \left(-2x+2\right)\ge 0

Correction
L'inéquation est définie si et seulement si : 2x+2>02x>2x<22x<1-2x+2>0\Leftrightarrow -2x>-2\Leftrightarrow x<\frac{-2}{-2} \Leftrightarrow x<1
Ainsi le domaine de définition est
Df=];1[D_{f} =\left]-\infty ;1\right[

ln(2x+2)0ln(2x+2)ln(1)2x+212x1x12x12\ln \left(-2x+2\right)\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(1\right)\Leftrightarrow -2x+2\ge 1\Leftrightarrow -2x\ge-1\Leftrightarrow x\le\frac{-1}{-2} \Leftrightarrow x\le\frac{1}{2}
Le domaine de définition impose que x1x\le 1 et l'inéquation est vraie si x12x\le \frac{1}{2} .
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle
S=];12]S=\left]-\infty ;\frac{1}{2} \right]
Question 3

ln(2x+2)ln(x+4)\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(x+4\right)

Correction
L'inéquation est définie si et seulement si {2x+2>0 et x+4>0{x<1 et x>4\left\{\begin{array}{c} {-2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {x+4>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>-4} \end{array}\right.
Ainsi le domaine de définition est
Df=]4;1[D_{f} =\left]-4;-1\right[

ln(2x+2)ln(x+4)\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(x+4\right)
2x+2x+4-2x+2\ge x+4
2xx42-2x-x\ge 4-2
3x2-3x\ge 2
x23 x\le \frac{2}{-3}
x23 x\le \frac{-2}{3}
Le domaine de définition impose que 4<x<1-4<x<-1 et l'inéquation est vraie si x23x\le \frac{-2}{3} . On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle
S=]4;1[S=\left]-4;-1\right[
Question 4

ln(x2)<ln(4x3)\ln \left(x^{2} \right)<\ln \left(4x-3\right)

Correction
L'inéquation est définie si et seulement si {x2>0 et 4x3>0{x];0[]0;+[ et x>34\left\{\begin{array}{c} {x^{2} >0} \\ {\text{ et }} \\ {4x-3>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[} \\ {\text{ et }} \\ {x>\frac{3}{4} } \end{array}\right.
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est
Df=]34;+[D_{f} =\left]\frac{3}{4} ;+\infty \right[

ln(x2)<ln(4x3)x2<4x3x24x+30\ln \left(x^{2} \right)<\ln \left(4x-3\right)\Leftrightarrow x^{2} <4x-3\Leftrightarrow x^{2} -4x+3\le 0
Pour résoudre l'inéquation x24x+30x^{2} -4x+3\le 0, on utilise le discriminant. Δ=4\Delta =4; x1=1x_{1} =1 et x2=3x_{2} =3
L'inéquation x24x+30x^{2} -4x+3\le 0 est vraie si x[1;3]x\in \left[1;3\right]
Le domaine de définition impose que x]34;+[x\in \left]\frac{3}{4} ;+\infty \right[ et l'inéquation est vraie si x[1;3]x\in \left[1;3\right]
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=[1;3]S=\left[1;3\right]
Question 5

ln(2x+2)+ln(2x)ln(x)\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)

Correction
L'inéquation est définie si et seulement si {2x+2>0 et 2x>0 et x>0{x<1 et x>0 et x>0\left\{\begin{array}{c} {-2x+2>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x<1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
Df=]0;1[D_{f} =\left]0;1\right[

ln(2x+2)+ln(2x)ln(x)ln(2x×(2x+2))ln(x)4x2+4xx4x2+3x0\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)\Leftrightarrow \ln \left(2x\times \left(-2x+2\right)\right)\le \ln \left(x\right)\Leftrightarrow -4x^{2} +4x\le x\Leftrightarrow -4x^{2} +3x\le 0
Pour résoudre l'inéquation 4x2+3x0-4x^{2} +3x\le 0, on utilise le discriminant. Δ=16\Delta =16 ; x1=0x_{1} =0 et x2=34x_{2} =\frac{3}{4}
L'inéquation 4x2+3x0-4x^{2} +3x\le 0 est vraie si x];0][34;+[x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[.
Le domaine de définition impose que x]0;1[x\in \left]0;1\right[ et l'inéquation est vraie si x];0][34;+[x\in \left]-\infty ;0\right]\cup \left[\frac{3}{4} ;+\infty \right[ . On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation ln(2x+2)+ln(2x)ln(x)\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right) sont sur l'intervalle
S=[34;1[S=\left[\frac{3}{4} ;1\right[
Question 6

ln(1+2x)<ln(x)\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right)

Correction
L'inéquation est définie si et seulement si {1+2x>0 et x>0{x]2;0[]0;+[ et x>0\left\{\begin{array}{c} {1+\frac{2}{x} >0} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \left]-2;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.
On fait l'intersection des deux intervalles , ainsi le domaine de définition est
Df=]0;+[D_{f} =\left]0;+\infty \right[

ln(1+2x)<ln(x)1+2x<x\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right)\Leftrightarrow 1+\frac{2}{x} <x, on va tout mettre au même dénominateur.
1+2x<xxx+2x<x2xx2+x+2x<01+\frac{2}{x} <x\Leftrightarrow \frac{x}{x} +\frac{2}{x} <\frac{x^{2} }{x} \Leftrightarrow \frac{-x^{2} +x+2}{x} <0
Comme x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, le signe de x2+x+2x\frac{-x^{2} +x+2}{x} dépend du dénominateur x2+x+2-x^{2} +x+2. On utilise le discriminant Δ=9\Delta =9 ; x1=1x_{1} =-1 et x2=2x_{2} =2
x2+x+2<0x];1[]2;+[.-x^{2} +x+2<0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[ .
Autrement dit : x2+x+2x<0x];1[]2;+[\frac{-x^{2} +x+2}{x} <0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[
Le domaine de définition impose que x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[ et l'inéquation est vraie si x];1[]2;+[x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]2;+\infty \right[ .On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation ln(1+2x)<ln(x)\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right) sont sur l'intervalle
S=]2;+[S=\left]2;+\infty \right[
Question 7

2ln(x)+ln(3)ln(x2+3)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)

Correction
L'inéquation est définie si et seulement si {x>0 et x2+3>0{x>0 et x];+[\left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x^{2} +3>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x\in \left]-\infty ;+\infty \right[} \end{array}\right.
On fait l'intersection des trois intervalles, ainsi le domaine de définition est
Df=]0;+[D_{f} =\left]0;+\infty \right[

2ln(x)+ln(3)ln(x2+3)ln(x2)+ln(3)ln(x2+3)3x2x2+32x2302\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)\Leftrightarrow \ln \left(x^{2} \right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)\Leftrightarrow 3x^{2} \ge x^{2} +3\Leftrightarrow 2x^{2} -3\ge 0
Pour résoudre l'inéquation 2x2302x^{2} -3\ge 0, on utilise le discriminant.
Δ=24\Delta =24 ; x1=62x_{1} =-\frac{\sqrt{6} }{2} et x2=62x_{2} =\frac{\sqrt{6} }{2}
L'inéquation 2x2302x^{2} -3\ge 0 est vraie si x];62][62;+[x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[.
Le domaine de définition impose que x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[ et l'inéquation est vraie si x];62][62;+[x\in \left]-\infty ;\frac{-\sqrt{6} }{2} \right]\cup \left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[
On effectue l'intersection de ces deux ensembles.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation 2ln(x)+ln(3)ln(x2+3)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right) sont sur l'intervalle
S=[62;+[S=\left[\frac{\sqrt{6} }{2} ;+\infty \right[