Fonction logarithme népérien

1Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Antilles–Guyane septembre 2022 - Exercice 1

15 min
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Lors d’une course, on a mesuré la fréquence cardiaque d’un coureur de 100100 m.
Cette fréquence cardiaque, en battements par minute, est modélisée par la fonction ff définie sur [0;100]\left[0; 100\right] par f(x)=28ln⁡(x+1)+70f\left(x\right) = 28 \ln(x +1)+70 où xx est la distance parcourue, en mètre, depuis le départ de la course.
Question 1

Selon ce modèle, quelle est la fréquence cardiaque de ce coureur au départ de la course ?

Correction
Au départ de la course, la distance parcourue est alors x=0x=0.
Il faut donc calculer l'image de 00 par ff afin d'obtenir la fréquence cardiaque de ce coureur au départ de la course.
Ainsi :
f(0)=28ln⁡(0+1)+70f\left(0\right) = 28 \ln(0 +1)+70
f(0)=28ln⁡(1)+70f\left(0\right) = 28 \ln(1)+70
f(0)=28×0+70f\left(0\right) = 28 \times 0+70
f(0)=28×0+70f\left(0\right) = 28 \times 0+70
D'où :
f(0)=70f\left(0\right) = 70

La fréquence cardiaque de ce coureur au départ de la course est de 7070 battements par minute.
Question 2

Selon ce modèle, au bout de combien de mètres la fréquence cardiaque de ce sportif est-elle égale à 185185 battements par minute ? Arrondir à l’unité.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=185f\left(x\right) = 185
Il vient alors que :
28ln⁡(x+1)+70=185 28 \ln(x +1)+70=185
28ln(x+1) =185−7028{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }=185-70
28ln(x+1) =11528{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }=115
ln(x+1) =11528{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }=\frac{115}{28}
ln⁡(A)=B⇔A=eB\ln \left(A\right)=B\Leftrightarrow A=e^B
x+1=e11528x+1=e^{\frac{115}{28}}
x=e11528−1x=e^{\frac{115}{28}}-1
x≈59,77x\approx 59,77
Nous arrondissons à l'unité ce qui nous donne : x=60x=60 .
Au bout de 6060 mètres la fréquence cardiaque de ce sportif est égale à 185185 battements par minute .