Fonction logarithme népérien

1Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Centres étrangers 4 mai 2022 - Exercice 1

15 min
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Question 1

Résoudre dans ]1;+[\left]1 ; +\infty\right[ l’équation : ln(x1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x21) ln(0,5) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(0,5\right)\ }

Correction
Soit x]1;+[x\in \left]1 ; +\infty\right[ .
ln(x1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x21) ln(0,5) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(0,5\right)\ } équivaut successivement à :
ln(x1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x21) ln(12) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(\frac{1}{2}\right)\ }
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
ln(x1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x21) (ln(2) ){\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-\left(-{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }\right)
ln(x1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x21) +ln(2) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
ln((x1)(x+1)) +ln(x) =ln((x21)×2) {\mathrm{ln} \left(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times 2\right)\ }
  • (ab)(a+b)=a2b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
ln(x21) +ln(x) =ln((x21)×2) {\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times 2\right)\ }
ln((x21)×x) =ln((x21)×2) {\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times 2\right)\ }
ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
(x21)×x=(x21)×2\left(x^2-1\right)\times x=\left(x^2-1\right)\times 2
(x21)×x(x21)×2=0\left(x^2-1\right)\times x-\left(x^2-1\right)\times 2=0
On factorise par : (x21)\left(x^2-1\right)
(x21)×(x2)=0\left(x^2-1\right)\times \left(x-2\right)=0
(x1)×(x+1)×(x2)=0\left(x-1\right)\times \left(x+1\right)\times \left(x-2\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nul :
x1=0x-1=0 ou x+1=0x+1=0 ou x2=0x-2=0
x=1x=1 ou x=1x=-1 ou x=2x=2
N'oublions que nous étudions l'équation sur l'intervalle ]1;+[\left]1 ; +\infty\right[
Or seul 2]1;+[2\in \left]1 ; +\infty\right[ car 1]1;+[1\notin \left]1 ; +\infty\right[ et 1]1;+[-1\notin \left]1 ; +\infty\right[
Ainsi l'unique solution est :
S={2}S=\left\{2\right\}