Équations différentielles

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle - Exercice 3

5 min
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Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y=8y+22e3xy'=-8y+22e^{3x} .
Question 1

Montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=2e3xg\left(x\right)=2e^{3x} est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
La fonction gg est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) si et seulement si :
g(x)=8g(x)+22e3xg'\left(x\right)=-8g\left(x\right)+22e^{3x}
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
  • (eu)=ueu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • Soit g(x)=2e3xg\left(x\right)=2e^{3x}
    Ici u(x)=3x\blue{u\left(x\right)=3x} et donc u(x)=3\red{u'\left(x\right)=3}
    g(x)=2×3e3xg'\left(x\right)=2\times\red{3}e^{\blue{3x}}
    D'où :
    g(x)=6e3xg'\left(x\right)={\color{blue}{6e^{3x}}}

    D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
    8g(x)+22e3x=8×(2e3x)+22e3x-8g\left(x\right)+22e^{3x} =-8\times \left(2e^{3x} \right)+22e^{3x}
    8g(x)+22e3x=16e3x+22e3x-8g\left(x\right)+22e^{3x} =-16e^{3x} +22e^{3x}
    8g(x)+22e3x=6e3x-8g\left(x\right)+22e^{3x}={\color{blue}{6e^{3x}}}
    Il en reˊsulte donc que :\text{\red{Il en résulte donc que :}} g(x)=8g(x)+22e3xg'\left(x\right)=-8g\left(x\right)+22e^{3x}
    Nous venons donc de montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=2e3xg\left(x\right)=2e^{3x} est bien une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .