Équations différentielles

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle - Exercice 2

5 min
10
Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y′=−2y+4x2−8x+4y'=-2y+4x^{2}-8x+4 .
Question 1

Montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=2x2−6x+5g\left(x\right)=2x^{2}-6x+5 est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
La fonction gg est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) si et seulement si :
g′(x)=−2g(x)+4x2−8x+4g'\left(x\right)=-2g\left(x\right)+4x^{2}-8x+4
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
g′(x)=4x−6g'\left(x\right)={\color{blue}{4x-6}}
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
−2g(x)+4x2−8x+4=−2×(2x2−6x+5)+4x2−8x+4-2g\left(x\right)+4x^{2}-8x+4=-2\times \left(2x^{2}-6x+5\right)+4x^{2}-8x+4
−2g(x)+4x2−8x+4=−4x2+12x−10+4x2−8x+4-2g\left(x\right)+4x^{2} -8x+4=-4x^{2} +12x-10+4x^{2} -8x+4
−2g(x)+4x2−8x+4=4x−6-2g\left(x\right)+4x^{2} -8x+4={\color{blue}{4x-6}}
Il en reˊsulte donc que :\text{\red{Il en résulte donc que :}} g′(x)=−2g(x)+4x2−8x+4g'\left(x\right)=-2g\left(x\right)+4x^{2}-8x+4
Nous venons donc de montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=2x2−6x+5g\left(x\right)=2x^{2}-6x+5 est bien une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .