Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle - Exercice 1

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Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y′=3y−21x+13y'=3y-21x+13 .
Question 1

Montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=7x−2g\left(x\right)=7x-2 est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
La fonction gg est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) si et seulement si :
g′(x)=3g(x)−21x+13g'\left(x\right)=3g\left(x\right)-21x+13
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
g′(x)=7g'\left(x\right)={\color{blue}{7}}
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
3g(x)−21x+13=3×(7x−2)−21x+133g\left(x\right)-21x+13=3\times \left(7x-2\right)-21x+13
3g(x)−21x+13=21x−6−21x+133g\left(x\right)-21x+13=21x-6-21x+13
3g(x)−21x+13=73g\left(x\right)-21x+13={\color{blue}{7}}
Il en reˊsulte donc que :\text{\red{Il en résulte donc que :}} g′(x)=3g(x)−21x+13g'\left(x\right)=3g\left(x\right)-21x+13
Nous venons donc de montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=7x−2g\left(x\right)=7x-2 est bien une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

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