Équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+b - Exercice 2

6 min
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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : 6y′+30y+12=06y'+30y+12=0

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi :
    6y′+30y+12=06y'+30y+12=0 équivaut successivement à :
    6y′=−30y−126y'=-30y-12
    y′=−306y−126y'=\frac{-30}{6} y-\frac{12}{6}
    y′=−5y−2y'=-5y-2
    On identifie ici que : a=−5a=-5 et b=−2b=-2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−5x−(−2)(−5)f\left(x\right)=ke^{-5x} -\frac{\left(-2\right)}{\left(-5\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−5x−25f\left(x\right)=ke^{-5x} -\frac{2}{5}
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 2y′−3y+12=02y'-3y+12=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi :
    2y′−3y+12=02y'-3y+12=0 équivaut successivement à :
    2y′=3y−122y'=3y-12
    y′=32y−122y'=\frac{3}{2} y-\frac{12}{2}
    y′=32y−6y'=\frac{3}{2} y-6
    On identifie ici que : a=32a=\frac{3}{2} et b=−6b=-6.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke32x−(−6)(32)f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{2}x} -\frac{\left(-6\right)}{\left(\frac{3}{2}\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke32x+4f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{2}x} +4
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : −3y′+7y−2=0-3y'+7y-2=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi :
    −3y′+7y−2=0-3y'+7y-2=0 équivaut successivement à :
    −3y′=−7y+2-3y'=-7y+2
    y′=−7−3y+2−3y'=\frac{-7}{-3} y+\frac{2}{-3}
    y′=73y−23y'=\frac{7}{3} y-\frac{2}{3}
    On identifie ici que : a=73a=\frac{7}{3} et b=−23b=-\frac{2}{3}.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke73x−(−23)(73)f\left(x\right)=ke^{\frac{7}{3}x} -\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)}{\left(\frac{7}{3}\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke73x+27f\left(x\right)=ke^{\frac{7}{3}x} +\frac{2}{7}
    où kk est une constante réelle.