Équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y=ay+by'=ay+b avec une condition - Exercice 3

15 min
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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y=4y16y'=4y-16 tel que f(0)=5f\left(0\right)=5

Correction
Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
  • On identifie ici que : a=4a=4 et b=16b=-16.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke4x(16)4f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{\left(-16\right)}{4}kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke4x+4f\left(x\right)=ke^{4x}+4kk est une constante réelle
    Or on sait que f(0)=5f\left(0\right)=5 , il vient alors que :
    f(0)=5f\left(0\right)=5 équivaut successivement à :
    ke4×0+4=5ke^{4\times 0}+4=5
    ke0+4=5ke^{0}+4=5 or e0=1e^{0}=1
    k+4=5k+4=5
    k=54k=5-4
    D'où : k=1k=1
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y=4y16y'=4y-16 tel que f(0)=5f\left(0\right)=5 est alors :
    f(x)=1e4x+4f\left(x\right)=1e^{4x}+4

    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y7y49=0y'-7y-49=0 tel que f(1)=1f\left(1\right)=1

    Correction
    Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
  • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y=ay+by'=ay+b. Ainsi:
    y7y49=0y'-7y-49=0 équivaut successivement à :
    y=7y+49y'=7y+49
    On identifie ici que : a=7a=7 et b=49b=49.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke7x497f\left(x\right)=ke^{7x} -\frac{49}{7}kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke7x7f\left(x\right)=ke^{7x}-7kk est une constante réelle
    Or on sait que f(1)=1f\left(1\right)=1 , il vient alors que :
    f(1)=1f\left(1\right)=1 équivaut successivement à :
    ke7×17=1ke^{7\times 1}-7=1
    ke7=1+7ke^{7}=1+7
    ke7=8ke^{7}=8
    k=8e7k=\frac{8}{e^{7}}
    • ea=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=8e7k=8e^{-7}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y7y49=0y'-7y-49=0 tel que f(1)=1f\left(1\right)=1 est alors :
    f(x)=8e7×e7x7f\left(x\right)=8e^{-7}\times e^{7x}-7 que l'on peut écrire :
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    f(x)=8e7x77f\left(x\right)=8e^{7x-7}-7