Soit l’équation différentielle
y′=ay+b où
a et
b sont deux réels, avec
a=0 , et où
y est une fonction de la variable
x définie et dérivable sur
R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle. Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme
y′=ay+b. Ainsi:
y′−7y−49=0 équivaut successivement à :
y′=7y+49On identifie ici que :
a=7 et
b=49.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :
f(x)=ke7x−749 où
k est une constante réelle.
Finalement :
f(x)=ke7x−7 où
k est une constante réelle
Or on sait que
f(1)=1 , il vient alors que :
f(1)=1 équivaut successivement à :
ke7×1−7=1ke7=1+7ke7=8k=e78- e−a=ea1
D'où :
k=8e−7Il en résulte que la solution de l'équation différentielle
y′−7y−49=0 tel que
f(1)=1 est alors :
f(x)=8e−7×e7x−7 que l'on peut écrire :
- eaeb=ea+b
f(x)=8e7x−7−7