Soit l’équation différentielle
y′=ay+b où
a et
b sont deux réels, avec
a=0 , et où
y est une fonction de la variable
x définie et dérivable sur
R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle. Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme
y′=ay+b. Ainsi:
y′−4y−12=0 équivaut successivement à :
y′=4y+12On identifie ici que :
a=4 et
b=12.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :
f(x)=ke4x−412 où
k est une constante réelle.
Finalement :
f(x)=ke4x−3 où
k est une constante réelle
Or on sait que
f(2)=−2 , il vient alors que :
f(2)=−2 équivaut successivement à :
ke4×2−3=−2ke8=−2+3ke8=1k=e81- e−a=ea1
D'où :
k=e−8Il en résulte que la solution de l'équation différentielle
y′−4y−12=0 tel que
f(2)=−2 est alors :
f(x)=e−8×e4x−3 que l'on peut écrire :
- eaeb=ea+b
f(x)=e4x−8−3