Équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+b - Exercice 1

20 min
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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−3y+9y'=-3y+9

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=−3a=-3 et b=9b=9.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−3x−9(−3)f\left(x\right)=ke^{-3x} -\frac{9}{\left(-3\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−3x+3f\left(x\right)=ke^{-3x} +3
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=5y+30y'=5y+30

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=5a=5 et b=30b=30.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke5x−305f\left(x\right)=ke^{5x} -\frac{30}{5} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke5x−6f\left(x\right)=ke^{5x}-6
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−2yy'=-2y

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=−2a=-2 et b=0b=0.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−2x−0(−2)f\left(x\right)=ke^{-2x} -\frac{0}{\left(-2\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−2xf\left(x\right)=ke^{-2x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=8y−24y'=8y-24

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=8a=8 et b=−24b=-24.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke8x−(−24)8f\left(x\right)=ke^{8x} -\frac{\left(-24\right)}{8} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke8x+3f\left(x\right)=ke^{8x}+3
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=7y+2y'=7y+2

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=7a=7 et b=2b=2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke7x−27f\left(x\right)=ke^{7x} -\frac{2}{7} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke7x−27f\left(x\right)=ke^{7x} -\frac{2}{7}
    où kk est une constante réelle
    Question 6

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 2y′=−8y−102y'=-8y-10

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Dans un premier temps, nous allons tout diviser par 22. Ainsi :
    2y′=−8y−102y'=-8y-10 s'écrit 22y′=−82y−102\frac{2}{2}y'=-\frac{8}{2}y-\frac{10}{2} et enfin on a : y′=−4y−5y'=-4y-5
    On identifie ici que : a=−4a=-4 et b=−5b=-5.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−4x−(−5)(−4)f\left(x\right)=ke^{-4x} -\frac{\left(-5\right)}{\left(-4\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−4x−54f\left(x\right)=ke^{-4x} -\frac{5}{4}
    où kk est une constante réelle
    Question 7

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 12y′=−3y+1\frac{1}{2}y'=-3y+1

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Dans un premier temps, nous allons tout multiplier par 22. Ainsi :
    12y′=−3y+1\frac{1}{2}y'=-3y+1 s'écrit 2×12y′=2×(−3y)+1×22\times\frac{1}{2}y'=2\times\left(-3y\right)+1\times2 . On obtient : y′=−6y+2y'=-6y+2
    On identifie ici que : a=−6a=-6 et b=2b=2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−6x−2(−6)f\left(x\right)=ke^{-6x} -\frac{2}{\left(-6\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−6x+13f\left(x\right)=ke^{-6x} +\frac{1}{3}
    où kk est une constante réelle