Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=7y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=7

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{7x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{7x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $5y'-12y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

5y'-12y=0

équivaut successivement à :

5y'=12y

y'=\frac{12}{5}y

On identifie ici que :

a=\frac{12}{5}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{\frac{12}{5}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{\frac{12}{5}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-13y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-13

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-13x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-13x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-8y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-8

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-8x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-8x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=7yy'=7yy′=7y

Résoudre l'équation différentielle suivante : 5y′−12y=05y'-12y=05y′−12y=0

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−13yy'=-13yy′=−13y

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−8yy'=-8yy′=−8y

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=7y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $5y'-12y=0$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-13y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-8y$