Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $$y'=ay$$ avec une condition - Exercice 1

On identifie ici que : $$a=3$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{3x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(0\right)=7$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{3\times 0}=7$$ équivaut successivement à :
$$ke^{0}=7$$ . Nous savons que $$e^{0}=1$$ .
$$k=7$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=3y$$ tel que $$f\left(0\right)=7$$ est alors :

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme $$y'=ay$$. Ainsi :
$$y'-5y=0$$ équivaut successivement à :
$$y'=5y$$
On identifie ici que : $$a=5$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{5x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(2\right)=1$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{5\times 2}=1$$ équivaut successivement à :
$$ke^{10}=1$$
$$k=\frac{1}{e^{10}}$$
D'où : $$k=e^{-10}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=5y$$ tel que $$f\left(2\right)=1$$ est alors :
$$f\left(x\right)=e^{-10}\times e^{5x}$$
Ainsi :

On identifie ici que : $$a=-9$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-9x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(4\right)=-7$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{-9\times 4}=-7$$ équivaut successivement à :
$$ke^{-36}=-7$$
$$k=\frac{-7}{e^{-36}}$$
D'où : $$k=-7e^{36}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=-9y$$ tel que $$f\left(4\right)=-7$$ est alors :
$$f\left(x\right)=-7e^{36}\times e^{-9x}$$
Ainsi :

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme $$y'=ay$$. Ainsi :
$$2y'+9y=0$$ équivaut successivement à :
$$2y'=-9y$$
$$y'=\frac{-9}{2}y$$
$$y'=-\frac{9}{2}y$$
On identifie ici que : $$a=-\frac{9}{2}$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-\frac{9}{2}x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(0\right)=-3$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{-\frac{9}{2}\times 0}=-3$$ équivaut successivement à :
$$ke^{0}=-3$$ . Nous savons que $$e^{0}=1$$ .
$$k=-3$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$2y'+9y=0$$ tel que $$f\left(0\right)=-3$$ est alors :