Soit l’équation différentielle
y′=ay où
a est un réel avec
a=0, et où
y est une fonction de la variable
x définie et dérivable sur
R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax où k est une constante réelle.Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme
y′=ay. Ainsi :
y′−5y=0 équivaut successivement à :
y′=5yOn identifie ici que :
a=5 .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :
f(x)=ke5x où
k est une constante réelle.
Or :
f(2)=1 ce qui nous permet d'écrire que :
ke5×2=1 équivaut successivement à :
ke10=1 k=e101 - e−a=ea1
D'où :
k=e−10 Il en résulte que la solution de l'équation différentielle
y′=5y tel que
f(2)=1 est alors :
f(x)=e−10×e5x - eaeb=ea+b
Ainsi :
f(x)=e5x−10