Équations différentielles

Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 6

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Un procédé de filtration de l’eau de la base nautique au charbon actif permettrait d’éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l’installation est de 2020 000000 euros. Le responsable étudie cette solution. L’action du filtre commencerait alors le 1313 juin 20182018. À la mise en service, à l’instant t=0t =0, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de 54,754,7 microgrammes par litre.
Question 1

Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface du bassin, en fonction du temps tt exprimé en jours, par une fonction ff , définie sur [0;+∞[\left[0 ; +\infty\right[ et vérifiant l’équation différentielle :
(E):y′+14y=0\left(E\right):y'+\frac{1}{4} y=0

Résoudre dans l’intervalle [0;+∞[\left[0 ; +\infty\right[ l'équation différentielle (E)\left(E\right).

Correction

Soit l’équation différentielle y′+ay=by'+ay=b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=ke−ax+baf\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
L'équation différentielle à résoudre est : y′+14y=0y'+\frac{1}{4} y=0
On identifie ici que : a=14=0,25a=\frac{1}{4}=0,25 et b=0b=0.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(t)=ke−0,25t+00,25f\left(t\right)=ke^{-0,25t} +\frac{0}{0,25} où kk est une constante réelle.
Finalement : f(t)=ke−0,25tf\left(t\right)=ke^{-0,25t} où kk est une constante réelle.
Question 2

Justifier que pour tout t≥0t\ge 0, f(t)=54,7e−0,25tf\left(t\right)=54,7e^{-0,25t} .

Correction
En t=0t =0, la concentration du bassin est de 54,754,7 µg/L donc f(0)=54,7f\left(0\right)=54,7 ce qui équivaut à :
ke−0,25×0=54,7ke^{-0,25\times 0}=54,7
ke0=54,7ke^{ 0}=54,7
k=54,7k=54,7

Finalement, pour tout t≥0t\ge 0, f(t)=54,7e−0,25tf\left(t\right)=54,7e^{-0,25t}