En conservant les valeurs de
C et de
E, on obtient l’équation différentielle
R×10−6×u′+u=10 que l'on peut également écrire :
u′+R106u=R106×10Soit l’équation différentielle
y′+ay=b où
a et
b sont deux réels, avec
a=0 , et où
y est une fonction de la variable
x définie et dérivable sur
R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :
f(x)=ke−ax+ab où
k est une constante réelle.
L'équation différentielle à résoudre est :
u′+R106u=R106×10. On identifie ici que :
a=R106 et
b=R106×10.
Ainsi :
u(t)=ke−R106t+10 où
k est une constante réelle.
Nous savons que
u(0)=0 , nous trouverons dans ce cas
k=−10.
Nous obtiendrons alors
u(t)=−10e−R106t+10 Il nous faut maintenant résoudre l'équation :
u(t)=9,5.
u(t)=9,5 équivaut successivement à :
−10e−R106t+10=9,5 −10e−R106t=9,5−10 −10e−R106t=−0,5 e−R106t=−10−0,5 e−R106t=0,05 ln(e−R106t)=ln(0,05) −R106t=ln(0,05)t=−R106ln(0,05) t=−106R×ln(0,05)
Donc le temps de charge est proportionnel à la résistance; il suffit de doubler la valeur de la résistance pour que le temps de charge soit multiplié par deux.