Équations différentielles

Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 4

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Question 1
On considère l'équation différentielle y′+y=2e−xy'+y=2e^{-x}.

Résoudre y′+y=0y'+y=0

Correction

Soit l’équation différentielle y′+ay=by'+ay=b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=ke−ax+baf\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
Nous devons résoudre : y′+y=0y'+y=0
On identifie ici que : a=1a=1 et b=0b=0.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−x+01f\left(x\right)=ke^{-x} +\frac{0}{1} où kk est une constante réelle.
Finalement : f(x)=ke−xf\left(x\right)=ke^{-x} où kk est une constante réelle.
Question 2

Soit la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=2xe−xg\left(x\right)=2xe^{-x}. Montrer que gg est une solution de y′+y=2e−xy'+y=2e^{-x}.

Correction
gg est une solution de l'équation y′+y=2e−xy'+y=2e^{-x} si et seulement si g′(x)+g(x)=2e−xg'\left(x\right)+g\left(x\right)=2e^{-x}.
Il nous faut donc commencer par calculer la dérivée de gg.
Soit g(x)=2xe−xg\left(x\right)=2xe^{-x}. gg est dérivable sur R\mathbb{R}.

(eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
Il vient alors que :
g′(x)=2e−x+2x×(−e−x)g'\left(x\right)=2e^{-x} +2x\times \left(-e^{-x} \right)
Ainsi :
g′(x)=e−x(2−2x)g'\left(x\right)=e^{-x} \left(2-2x \right)

De plus :
g′(x)+g(x)=e−x(2−2x)+2xe−xg'\left(x\right)+g\left(x\right)=e^{-x} \left(2-2x \right)+2xe^{-x}
g′(x)+g(x)=e−x(2−2x+2x)g'\left(x\right)+g\left(x\right)=e^{-x} \left(2-2x+2x \right)
Il en résulte donc que :
g′(x)+g(x)=2e−xg'\left(x\right)+g\left(x\right)=2e^{-x}
.
Finalement, gg est bien une solution de y′+y=2e−xy'+y=2e^{-x}.