Équations différentielles

Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 3

35 min
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Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps tt est exprimé en heures. Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l’instant t=0t = 0, les ailerons, à une température de 55 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à −24-24 °C.
Question 1
Partie A.
La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps tt par la fonction ff définie sur l’intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ par f(t)=35e−1,6t−30f\left(t\right)=35e^{-1,6t} -30.

Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 3030 minutes.

Correction
Attention, l'erreur à ne pas faire ici est de vouloir calculer f(30)f\left(30\right). En effet, tt est exprimé en heure et non en minutes.
Ce qui signifie que 3030 minutes correspond à 0,50,5h.
Cela donne :
f(0,5)=35e−1,6×0,5−30f\left(0,5\right)=35e^{-1,6\times0,5} -30
f(0,5)≈−14f\left(0,5\right)\approx-14

Au bout de 3030 minutes, la température est de −14-14 °C
Question 2

Étudier le sens de variation de la fonction ff.

Correction
ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[.
On a alors :
f′(t)=35×(−1,6)e−1,6tf'\left(t\right)=35\times\left(-1,6\right)e^{-1,6t}
f′(t)=−56e−1,6tf'\left(t\right)=-56e^{-1,6t}
Or pour tout t∈]0;+∞[t\in\left]0;+\infty\right[, on vérifie aisément que −56<0-56<0 et que e−1,6t>0e^{-1,6t}>0.
Il en résulte donc que pour tout t∈]0;+∞[t\in\left]0;+\infty\right[, on a : f′(t)<0f'\left(t\right)<0. La fonction ff est donc décroissante.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :
Question 3

Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges?

Correction
Pour le savoir, il nous faut calculer f(1,5)f\left(1,5\right)
f(1,5)=35e−1,6×1,5−30f\left(1,5\right)=35e^{-1,6\times1,5} -30
f(1,5)≈−27f\left(1,5\right)\approx-27

La température des ailerons sera conforme au cahier des charges.
Question 4

Résoudre par le calcul l’équation f(t)=−24f\left(t\right)=-24 et interpréter le résultat trouvé.

Correction
f(t)=−24f\left(t\right)=-24 équivaut successivement à :
35e−1,6t−30=−2435e^{-1,6t} -30=-24
35e−1,6t=−24+3035e^{-1,6t} =-24+30
35e−1,6t=635e^{-1,6t} =6
e−1,6t=635e^{-1,6t} =\frac{6}{35}
ln⁡(e−1,6t)=ln⁡(635)\ln \left(e^{-1,6t} \right)=\ln \left(\frac{6}{35} \right)
−1,6t=ln⁡(635)-1,6t=\ln \left(\frac{6}{35} \right)
t=ln⁡(635)−1,6t=\frac{\ln \left(\frac{6}{35} \right)}{-1,6}
t≈1,10t\approx 1,10

Les ailerons atteignent la température de −24-24 °C au bout de 11 heure et 66 minutes.
Question 5
Partie B
Pour moderniser son matériel, l’entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction gg définie et dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, qui est solution de l’équation différentielle y′+1,5y=−52,5y'+1,5y=-52,5

Résoudre l’équation différentielle y′+1,5y=−52,5y'+1,5y=-52,5.

Correction

Soit l’équation différentielle y′+ay=by'+ay=b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=ke−ax+baf\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
Nous devons résoudre : y′+1,5y=−52,5y'+1,5y=-52,5
On identifie ici que : a=1,5a=1,5 et b=−52,5b=-52,5.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : g(t)=ke−1,5t+−52,51,5g\left(t\right)=ke^{-1,5t} +\frac{-52,5}{1,5} où kk est une constante réelle.
Finalement : g(t)=ke−1,5t−35g\left(t\right)=ke^{-1,5t}-35 où kk est une constante réelle.
Question 6

Justifier que g(0)=5g\left(0\right)=5.

Correction
À l’instant t=0t =0, les ailerons, à une température de 55 °C, sont placés dans le tunnel donc g(0)=5g\left(0\right)=5.
Question 7

Vérifier que la fonction gg est définie par g(t)=40e−1,5t−35g\left(t\right)=40e^{-1,5t} -35

Correction
Comme g(0)=5g\left(0\right)=5 et que g(t)=ke−1,5t−35g\left(t\right)=ke^{-1,5t}-35 où kk est une constante réelle.
Il vient alors que :
g(0)=5g\left(0\right)=5 équivaut successivement à :
ke−1,5×0−35=5ke^{-1,5\times 0} -35=5
ke0−35=5ke^{0} -35=5
k−35=5k-35=5
k=5+35k=5+35
k=40k=40

Il en résulte donc que
g(t)=40e−1,5t−35g\left(t\right)=40e^{-1,5t} -35
Question 8

Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide?

Correction
Nous allons résoudre l'équation g(t)=−24g\left(t\right)=-24.
40e−1,5t−35=−2440e^{-1,5t} -35=-24 équivaut successivement à :
40e−1,5t=−24+3540e^{-1,5t} =-24+35
40e−1,5t=1140e^{-1,5t} =11
e−1,5t=1140e^{-1,5t} =\frac{11}{40}
ln⁡(e−1,5t)=ln⁡(1140)\ln \left(e^{-1,5t} \right)=\ln \left(\frac{11}{40} \right)
−1,5t=ln⁡(1140)-1,5t=\ln \left(\frac{11}{40} \right)
t=ln⁡(1140)−1,5t=\frac{\ln \left(\frac{11}{40} \right)}{-1,5}
t≈0,86t\approx 0,86

Les ailerons atteignent la température de −24-24 °C en moins d'une heure. Le tunnel permet une congélation un peu plus rapide.