Équations différentielles

Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 2

3 min
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Question 1
Le bassin d’une piscine municipale a une capacité de 600000600000 litres d’eau. Afin de respecter les normes d’hygiène et de sécurité, 3000030000 litres d’eau de la piscine sont renouvelés chaque heure et le taux de chlore maximum autorisé est de 0,250,25 mg/L.
Un soir après la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est indétectable, 11 kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin à 2020 h.
Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public. On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction ff. Lorsque tt désigne le temps écoulé depuis l’accident, exprimé en heures, f(t)f(t) représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre. On admet que la fonction ff est solution de l’équation différentielle (E)(E) : y+0,05y=0y'+0,05y=0yy désigne une fonction de la variable tt.

Résoudre l’équation différentielle (E)(E).

Correction

Soit l’équation différentielle y+ay=by'+ay=baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax+baf\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
L'équation différentielle à résoudre est : y+0,05y=0y'+0,05y=0
On identifie ici que : a=0,05a=0,05 et b=0b=0.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(t)=ke0,05t+00,05f\left(t\right)=ke^{-0,05t} +\frac{0}{0,05}kk est une constante réelle.
Finalement : f(t)=ke0,05tf\left(t\right)=ke^{-0,05t}kk est une constante réelle.
Question 2

Que vaut f(0)f\left(0\right)? En déduire une expression de f(t)f\left(t\right) sur l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty \right[

Correction
Au moment de l’accident, à 2020 h, le taux de chlore est indétectable donc à 00. On verse accidentellement 1 kg de chlore dans la piscine, ce qui fait 10000001000000 mg pour 600000600000 litres d’eau, soit une concentration de 1000000600000=53\frac{1000000}{600000}=\frac{5}{3} mg/L.
Il en résulte que : f(0)=53f\left(0\right)=\frac{5}{3} , il vient alors que :
f(0)=53f\left(0\right)=\frac{5}{3} équivaut successivement à :
ke0,05×0=53ke^{-0,05\times 0}=\frac{5}{3}
ke0=53ke^{0}=\frac{5}{3} or e0=1e^{0}=1
D'où :
k=53k=\frac{5}{3}

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y+0,05y=0y'+0,05y=0 tel que f(0)=53f\left(0\right)=\frac{5}{3} est alors :
f(t)=53e0,05tf\left(t\right)=\frac{5}{3}e^{-0,05t}

Question 3

À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public?

Correction
La piscine pourra ouvrir au public à partir du moment ttf(t)0,25f\left(t\right) \le 0,25 ; on résout cette inéquation :
f(t)0,25f\left(t\right) \le 0,25 équivaut successivement à :
53e0,05t0,25\frac{5}{3}e^{-0,05t} \le 0,25
e0,05t0,25×35e^{-0,05t} \le 0,25\times \frac{3}{5}
e0,05t0,15e^{-0,05t} \le 0,15
e0,05teln(0,15)e^{-0,05t}\le e^{\ln \left(0,15\right)}
0,05tln(0,15)-0,05t\le \ln \left(0,15\right)
tln(0,15)0,05t\ge \frac{\ln \left(0,15\right)}{-0,05}
t38t\approx38

Donc on pourra réouvrir la piscine au bout de 3838 heures, soit à 1010 heures le surlendemain de l’accident.