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Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 1

20 min
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Question 1
On sort une tarte du four et on note que sa température est de 180180°C. On suppose que la température ambiante de la cuisine est supposée constante à 2020°C. La température de la tarte est donnée par une fonction gg du temps tt, exprimé en heures, qui est solution de l’équation différentielle : y′+1,38y=27,6y'+1,38y=27,6

Résoudre l’équation différentielle et donner sa solution particulière gg définie par la condition initiale g(0)=180g\left(0\right)=180.

Correction

Soit l’équation différentielle y′+ay=by'+ay=b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=ke−ax+baf\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
Nous devons résoudre : y′+1,38y=27,6y'+1,38y=27,6
On identifie ici que : a=1,38a=1,38 et b=27,6b=27,6.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : g(t)=ke−1,38t+27,61,38g\left(t\right)=ke^{-1,38t} +\frac{27,6}{1,38} où kk est une constante réelle.
Finalement : g(t)=ke−1,38t+20g\left(t\right)=ke^{-1,38t}+20 où kk est une constante réelle
Or on sait que g(0)=180g\left(0\right)=180 , il vient alors que :
g(0)=180g\left(0\right)=180 équivaut successivement à :
ke−1,38×0+20=180ke^{-1,38\times 0}+20=180
ke0+20=180ke^{0}+20=180 or e0=1e^{0}=1
k+20=180k+20=180
D'où :
k=160k=160

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′+1,38y=27,6y'+1,38y=27,6 tel que g(0)=180g\left(0\right)=180 est alors :
g(t)=160e−1,38t+20g\left(t\right)=160e^{-1,38t}+20

Question 2
En utilisant l'expression g(t)g\left(t\right) trouvée :

Quelle est la température, arrondie au degré près, de la tarte 3030 minutes après l’avoir sorti du four?

Correction
Au bout de 3030 minutes, cela signifie une demi-heure. Rappelons que tt est exprimé en heure, d'où:
g(12)=160e−1,38×12+20g\left(\frac{1}{2}\right)=160e^{-1,38\times\frac{1}{2} }+20
g(12)≈100g\left(\frac{1}{2}\right)\approx100

La température, arrondie au degré près, de la tarte 3030 minutes après l’avoir sorti du four est de 100100°C.
Question 3

Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 2525°C?

Correction
  • eln⁡A=Ae^{\ln A} =A avec A>0A>0
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B
Nous devons résoudre l'équation : g(t)≤25g\left(t\right) \le25
Ainsi :
g(t)≤25g\left(t\right) \le25 équivaut successivement à :
160e−1,38t+20≤25160e^{-1,38t}+20\le25
160e−1,38t≤5160e^{-1,38t}\le5
e−1,38t≤5160e^{-1,38t}\le\frac{5}{160}
e−1,38t≤eln⁡(5160)e^{-1,38t}\le e^{\ln \left(\frac{5}{160} \right)}
−1,38t≤ln⁡(5160)-1,38t \le\ln \left(\frac{5}{160} \right)
t≥ln⁡(5160)−1,38t\ge\frac{\ln \left(\frac{5}{160} \right)}{-1,38}
t≈2,51t\approx2,51

Il faut approximativement 22 heures et 3030 minutes pour atteindre une température inférieure à 2525°C?

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