Équations différentielles

Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Septembre 2021 - Exercice 1

15 min
30
Pour chaque question, préciser si l’affirmation est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(t)=cos⁡(t)+2sin⁡(t)f\left (t\right) = \cos\left (t\right)+2\sin\left (t\right).
On considère l’équation différentielle (E)\left (E\right) :y′′+y=0: y''+y=0
Affirmation :\blue{\text{Affirmation :}}
« La fonction ff est solution sur R\mathbb{R} de l’équation différentielle (E)\left (E\right) et vérifie les conditions initiales y(0)=1y\left(0\right) = 1 et y′(0)=2y'\left(0\right) = 2. »

Correction
L’affirmation est vraie\red{\text{L'affirmation est vraie}}
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−sin⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(x)f\left(x\right)=\sin \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=cos⁡(x)f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
Soit f(t)=cos⁡(t)+2sin⁡(t)f\left (t\right) = \cos\left (t\right)+2\sin\left (t\right)
Nous allons commencer par calculer f′f' puis f′′f'' .
Il vient alors que :
f′(t)=−sin⁡(t)+2cos⁡(t)f'\left (t\right) = -\sin\left (t\right)+2\cos\left (t\right) puis f′′(t)=−cos⁡(t)−2sin⁡(t)f''\left (t\right) = -\cos\left (t\right)-2\sin\left (t\right)
Dans un premier temps, vérifions si ff est solution de y′′+y=0y''+y=0.
Ainsi :
f′′(t)+f(t)=−cos⁡(t)−2sin⁡(t)+cos⁡(t)+2sin⁡(t)f''\left(t\right)+f\left(t\right)=-\cos \left(t\right)-2\sin \left(t\right)+\cos \left(t\right)+2\sin \left(t\right)
f′′(t)+f(t)=0f''\left(t\right)+f\left(t\right)=0 donc ff est bien solution de (E)\left (E\right)
Il faut également vérifier si f(0)=1f\left(0\right) = 1 et f′(0)=2f'\left(0\right) = 2
D’une part :\blue{\text{D'une part :}} Comme f(t)=cos⁡(t)+2sin⁡(t)f\left (t\right) = \cos\left (t\right)+2\sin\left (t\right) alors f(0)=cos⁡(0)+2sin⁡(0)f\left (0\right) = \cos\left (0\right)+2\sin\left (0\right) ce qui donne bien f(0)=1f\left (0\right)=1
D’une part :\blue{\text{D'une part :}} Comme f′(t)=−sin⁡(t)+2cos⁡(t)f'\left (t\right) = -\sin\left (t\right)+2\cos\left (t\right) alors f′(0)=−sin⁡(0)+2cos⁡(0)f'\left (0\right) = -\sin\left (0\right)+2\cos\left (0\right) ce qui donne bien f′(0)=2f'\left (0\right)=2
Il en résulte donc que la fonction f(t)=cos⁡(t)+2sin⁡(t)f\left (t\right) = \cos\left (t\right)+2\sin\left (t\right) vérifie l’équation différentielle (E)\left (E\right) :y′′+y=0: y''+y=0 avec les conditions initiales y(0)=1y\left(0\right) = 1 et y′(0)=2y'\left(0\right) = 2.