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Équations différentielles
Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Antilles–Guyane septembre 2022 - Exercice 1
15 min
30
La température d’un four, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps
t
t
t
, exprimé en minute, est modélisée par une fonction
f
f
f
définie et dérivable sur
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
, solution de l’équation différentielle
(
E
)
:
y
′
=
−
0
,
2
y
+
44
(E) : y'= -0,2y +44
(
E
)
:
y
′
=
−
0
,
2
y
+
44
.
Question 1
Déterminer les solutions de cette équation différentielle sur
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
.
Correction
Soit l’équation différentielle
y
′
=
a
y
+
b
y'=ay+b
y
′
=
a
y
+
b
où
a
a
a
et
b
b
b
sont deux réels, avec
a
≠
0
a\ne 0
a
=
0
, et où
y
y
y
est une fonction de la variable
x
x
x
définie et dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :
f
(
x
)
=
k
e
a
x
−
b
a
f\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}
f
(
x
)
=
k
e
a
x
−
a
b
où
k
k
k
est une constante réelle.
La fonction
f
0
(
x
)
=
−
b
a
f_0\left(x\right)=-\frac{b}{a}
f
0
(
x
)
=
−
a
b
est
appel
e
ˊ
e solution particuli
e
ˋ
re constante
\text{\red{appelée solution particulière constante}}
appel
e
ˊ
e solution particuli
e
ˋ
re constante
de l'équation différentielle.
Soit l’équation différentielle
y
′
=
−
0
,
2
y
+
44
y'= -0,2y +44
y
′
=
−
0
,
2
y
+
44
.
On identifie ici que :
a
=
−
0
,
2
a=-0,2
a
=
−
0
,
2
et
b
=
44
b=44
b
=
44
.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :
f
(
t
)
=
k
e
−
0
,
2
t
−
44
(
−
0
,
2
)
f\left(t\right)=ke^{-0,2t} -\frac{44}{\left(-0,2\right)}
f
(
t
)
=
k
e
−
0
,
2
t
−
(
−
0
,
2
)
44
où
k
k
k
est une constante réelle.
Finalement :
f
(
t
)
=
k
e
−
0
,
2
t
+
220
f\left(t\right)=ke^{-0,2t} +220
f
(
t
)
=
k
e
−
0
,
2
t
+
220
où
k
k
k
est une constante réelle.
Question 2
On suppose que la température initiale du four est
25
25
25
°C. En prenant
f
(
0
)
=
25
f\left(0\right) = 25
f
(
0
)
=
25
, donner une expression de
f
(
t
)
f\left(t\right)
f
(
t
)
, pour tout
t
t
t
de
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty\right[
[
0
;
+
∞
[
.
Correction
D'après la question précédente,
f
(
t
)
=
k
e
−
0
,
2
t
+
220
f\left(t\right)=ke^{-0,2t} +220
f
(
t
)
=
k
e
−
0
,
2
t
+
220
où
k
k
k
est une constante réelle.
Or nous savons que
f
(
0
)
=
25
f\left(0\right) = 25
f
(
0
)
=
25
. Ce qui va nous permettre de déterminer la valeur de
k
k
k
.
f
(
0
)
=
25
f\left(0\right) = 25
f
(
0
)
=
25
équivaut successivement à :
k
e
−
0
,
2
×
0
+
220
=
25
ke^{-0,2\times 0}+220=25
k
e
−
0
,
2
×
0
+
220
=
25
k
e
0
+
220
=
25
ke^0+220=25
k
e
0
+
220
=
25
. Or
e
0
=
1
e^0=1
e
0
=
1
.
k
+
220
=
25
k+220=25
k
+
220
=
25
k
=
25
−
220
k=25-220
k
=
25
−
220
Ainsi :
k
=
−
195
k=-195
k
=
−
195
En prenant
f
(
0
)
=
25
f\left(0\right) = 25
f
(
0
)
=
25
, l'expression de
f
f
f
est alors :
f
(
t
)
=
−
195
e
−
0
,
2
t
+
220
f\left(t\right)=-195e^{-0,2t} +220
f
(
t
)
=
−
195
e
−
0
,
2
t
+
220