La température d’un four, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps t, exprimé en minute, est modélisée par une fonction f définie et dérivable sur [0;+∞[, solution de l’équation différentielle (E):y′=−0,2y+44.
Question 1
Déterminer les solutions de cette équation différentielle sur [0;+∞[ .
Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+b où a et b sont deux réels, avec a=0 , et où y est une fonction de la variable x définie et dérivable sur R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.
La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle.
Soit l’équation différentielle y′=−0,2y+44 . On identifie ici que : a=−0,2 et b=44. Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(t)=ke−0,2t−(−0,2)44 où k est une constante réelle. Finalement :
f(t)=ke−0,2t+220
où k est une constante réelle.
Question 2
On suppose que la température initiale du four est 25°C. En prenant f(0)=25, donner une expression de f(t), pour tout t de [0;+∞[.
Correction
D'après la question précédente,
f(t)=ke−0,2t+220
où k est une constante réelle. Or nous savons que f(0)=25. Ce qui va nous permettre de déterminer la valeur de k . f(0)=25 équivaut successivement à : ke−0,2×0+220=25 ke0+220=25 . Or e0=1 . k+220=25 k=25−220 Ainsi :
k=−195
En prenant f(0)=25, l'expression de f est alors :
f(t)=−195e−0,2t+220
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