Équations différentielles

Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Centres étrangers 4 mai 2022 - Exercice 1

15 min
30
On considère l’équation différentielle (E):y′=−y+2\left(E\right) : y' = -y +2.
Question 1

Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Soit l’équation différentielle y′=−y+2y' = -y +2 .
    On identifie ici que : a=−1a=-1 et b=2b=2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(t)=ke−t−2(−1)f\left(t\right)=ke^{-t} -\frac{2}{\left(-1\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(t)=ke−t+2f\left(t\right)=ke^{-t} +2
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    En déduire la solution ff de l’équation différentielle (E)\left(E\right) qui s’annule en 00.

    Correction
    D'après la question précédente,
    f(t)=ke−t+2f\left(t\right)=ke^{-t} +2
    où kk est une constante réelle.
    Nous cherchons la solution ff de l’équation différentielle (E)\left(E\right) qui s’annule en 00 c'est à dire f(0)=0f\left(0\right) = 0.
    Ce qui va nous permettre de déterminer la valeur de kk .
    f(0)=0f\left(0\right) = 0 équivaut successivement à :
    ke−0+2=0ke^{-0} +2=0
    ke0+2=0ke^0+2=0 . Or e0=1e^0=1 .
    k+2=0k+2=0
    Ainsi :
    k=−2k=-2

    En prenant f(0)=0f\left(0\right) = 0, l'expression de ff est alors :
    f(t)=−2e−t+2f\left(t\right)=-2e^{-t} +2