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Suites
Suite géométrique : Ce qu'il faut savoir - Exercice 1
10 min
15
Question 1
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique de raison
q
=
3
q=3
q
=
3
et de premier terme
u
0
=
1
27
u_{0} =\frac{1}{27}
u
0
=
27
1
.
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique.
L'expression de
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
est donnée par la relation de récurrence :
u
n
+
1
=
u
n
×
q
u_{n+1} =u_{n}\times q
u
n
+
1
=
u
n
×
q
où
q
q
q
est la
raison
{\color{blue}\text{raison}}
raison
de la suite
géométrique
.
Ainsi :
u
n
+
1
=
u
n
×
3
u_{n+1} =u_{n}\times3
u
n
+
1
=
u
n
×
3
Finalement :
u
n
+
1
=
3
u
n
u_{n+1} =3u_{n}
u
n
+
1
=
3
u
n
Question 2
Calculer
u
1
u_{1}
u
1
et
u
2
u_{2}
u
2
.
Correction
Nous savons que
u
n
+
1
=
3
u
n
u_{n+1} =3u_{n}
u
n
+
1
=
3
u
n
et que
u
0
=
1
27
u_{0} =\frac{1}{27}
u
0
=
27
1
.
Calcul de
u
1
u_{1}
u
1
.
u
0
+
1
=
3
×
u
0
u_{0+1} =3\times u_{0}
u
0
+
1
=
3
×
u
0
u
1
=
3
×
u
0
u_{1} =3\times u_{0}
u
1
=
3
×
u
0
u
1
=
3
×
1
27
u_{1} =3\times \frac{1}{27}
u
1
=
3
×
27
1
d'où :
u
1
=
1
9
u_{1} =\frac{1}{9}
u
1
=
9
1
Calcul de
u
2
u_{2}
u
2
.
u
1
+
1
=
3
×
u
1
u_{1+1} =3\times u_{1}
u
1
+
1
=
3
×
u
1
u
2
=
3
×
u
1
u_{2} =3\times u_{1}
u
2
=
3
×
u
1
u
2
=
3
×
1
9
u_{2} =3\times \frac{1}{9}
u
2
=
3
×
9
1
d'où :
u
2
=
1
3
u_{2} =\frac{1}{3}
u
2
=
3
1
Question 3
Exprimer
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Donner le terme général de la suite
u
n
u_{n}
u
n
.
Ces deux phrases signifient la même chose
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite géométrique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
0
×
q
n
u_{n} =u_{0}\times q^{n}
u
n
=
u
0
×
q
n
: lorsque le premier terme vaut
u
0
u_{0}
u
0
.
u
n
=
u
1
×
q
n
−
1
u_{n} =u_{1}\times q^{n-1}
u
n
=
u
1
×
q
n
−
1
: lorsque le premier terme vaut
u
1
u_{1}
u
1
.
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
u_{n} =u_{p}\times q^{n-p}
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
: formule avec un premier terme
u
p
u_{p}
u
p
quelconque .
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
0
=
1
27
u_{0} =\frac{1}{27}
u
0
=
27
1
.
Il en résulte donc que :
u
n
=
1
27
×
3
n
u_{n} =\frac{1}{27}\times3^{n}
u
n
=
27
1
×
3
n
Question 4
Calculer
u
7
u_{7}
u
7
.
Correction
Pour déterminer la valeur de
u
7
u_{7}
u
7
, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
u
n
=
1
27
×
3
n
u_{n} =\frac{1}{27}\times3^{n}
u
n
=
27
1
×
3
n
Il vient alors que :
u
7
=
1
27
×
3
7
u_{7} =\frac{1}{27}\times3^{7}
u
7
=
27
1
×
3
7
u
7
=
81
u_{7} =81
u
7
=
81