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Suites
Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique - Exercice 1
6 min
15
Question 1
Soit une suite arithmétique
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
de raison
r
=
2
r=2
r
=
2
et de
u
0
=
4
u_{0} =4
u
0
=
4
.
Donner l'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
0
+
n
×
r
u_{n} =u_{0} +n\times r
u
n
=
u
0
+
n
×
r
.
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
0
=
4
u_{0} =4
u
0
=
4
et
r
=
2
r=2
r
=
2
.
Il en résulte donc que :
u
n
=
4
+
n
×
2
u_{n} =4 +n\times 2
u
n
=
4
+
n
×
2
Autrement dit :
u
n
=
4
+
2
n
u_{n} =4 +2n
u
n
=
4
+
2
n
Question 2
Calculer
u
10
u_{10}
u
10
.
Correction
D'après la question
1
1
1
, nous savons que
u
n
=
4
+
2
n
u_{n} =4 +2n
u
n
=
4
+
2
n
.
Il vient alors que :
u
10
=
4
+
2
×
10
u_{10} =4 +2\times 10
u
10
=
4
+
2
×
10
u
10
=
4
+
20
u_{10} =4 +20
u
10
=
4
+
20
u
10
=
24
u_{10} =24
u
10
=
24
Question 3
Calculer :
S
=
u
0
+
u
1
+
…
+
u
10
S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}
S
=
u
0
+
u
1
+
…
+
u
10
. Nous pouvons également écrire
S
=
∑
k
=
0
10
u
k
S=\sum _{k=0}^{10}u_{k}
S
=
k
=
0
∑
10
u
k
.
Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
nombres de termes
)
×
(
premier terme
+
dernier terme
2
)
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
nombres de termes
)
×
(
2
premier terme
+
dernier terme
)
Nous voulons calculer
S
=
u
0
+
u
1
+
…
+
u
10
S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}
S
=
u
0
+
u
1
+
…
+
u
10
Il y a en tout
11
\red{11}
11
termes en partant de
u
0
u_{0}
u
0
à
u
10
u_{10}
u
10
.
On applique la formule :
S
=
u
0
+
u
1
+
…
+
u
10
=
(
nombres de termes
)
×
(
premier terme
+
dernier terme
2
)
S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{10}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S
=
u
0
+
u
1
+
…
+
u
10
=
(
nombres de termes
)
×
(
2
premier terme
+
dernier terme
)
S
=
11
×
(
u
0
+
u
10
2
)
S=11\times \left(\frac{u_{0} +u_{10} }{2} \right)
S
=
11
×
(
2
u
0
+
u
10
)
S
=
11
×
(
4
+
24
2
)
S=11\times \left(\frac{4+24}{2} \right)
S
=
11
×
(
2
4
+
24
)
S
=
11
×
(
28
2
)
S=11\times \left(\frac{28}{2} \right)
S
=
11
×
(
2
28
)
S
=
11
×
14
S=11\times 14
S
=
11
×
14
Ainsi :
S
=
154
S=154
S
=
154