Séries statistiques à deux variables

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

30 min
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Le tableau ci-dessous donne l’évolution, par tranches de cinq années, de la population mondiale (en milliards) entre 19801980 et 20102010.
Question 1

Représenter le nuage de points (xi,yi)\left(x_{i},y_{i}\right) associé à la série statistique.

Correction
On place successivement les points de coordonnées (1;4,4)\left(1;4,4\right), (2;4,8)\left(2;4,8\right), (3;5,3)\left(3;5,3\right), (4;5,7)\left(4;5,7\right) , (5;6,1)\left(5;6,1\right) , (6;6,5)\left(6;6,5\right) et (7;6,8)\left(7;6,8\right)
Question 2

Calculer les coordonnées du point moyen GG. Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point GG.

Correction
Le point moyen G(x;y)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses xix_{i}, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées yiy_{i}.
Ses coordonnées (x;y)\left(\overline{x};\overline{y}\right) vérifient donc : x=x1+x2++xnn\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n} et y=y1+y2++ynn\overline{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}.
Les coordonnées du point moyen GG de cette série statistique sont :
x=1+2+3+4+5+6+77\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}
x=4\overline{x}=4

y=4,4+4,8+5,3+5,7+6,1+6,5+6,87\overline{y}=\frac{4,4+4,8+5,3+5,7+6,1+6,5+6,8}{7}
y5,66\overline{y}\approx 5,66

Les coordonnées du point moyen GG sont : G(4;5,66)G\left(4;5,66\right)

Question 3

Déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de yy en xx obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus seront arrondis au centième.

Correction
Une équation de la droite d’ajustement affine de yy en xx obtenue par la méthode des moindres carrés, obtenue à la calculatrice, est :
y=0,41x+4,03y = 0,41x+4,03
(en arrondissant les coefficients à 0,010,01 près)
Question 4
On modélise l’évolution de l’effectif yy de la population mondiale, exprimé en milliards, en fonction du rang xx de l’année par l’expression y=0,4x+4y = 0,4x +4.

Représenter graphiquement, dans le repère, la droite traduisant cette évolution.

Correction
Pour tracer la droite dans le nuage de point, il nous suffit de déterminer deux points appartenant à y=0,4x+4y = 0,4x +4.
Nous choisissions, par exemple, x=1x=1 puis x=9x=9 .
Ainsi :
y=0,4×1+4=4,4y = 0,4\times1 +4=4,4 . Le premier point appartenant à la droite admet comme coordonnées (1;4,4)\left(1;4,4\right).
y=0,4×9+4=7,6y = 0,4\times9 +4=7,6 . Le deuxième point appartenant à la droite admet comme coordonnées (9;7,6)\left(9;7,6\right).
Il vous suffit de placer ces deux points et ensuite de tracer la droite comme donnée ci-dessous :
Question 5

En utilisant le modèle ci-dessus, estimer l’effectif de la population mondiale en 2015.

Correction
20152015 correspond à un rang x=8x = 8 . rappel : les anneˊes vont de 5 en 5 .{\color{blue}{\text{rappel : les années vont de 5 en 5 .}}}

On remplace xx par 88 dans l’équation de la droite:
y=0,4×8+4=7,2y = 0,4×8+4 = 7,2
.
En 20152015, on peut estimer l’effectif de la population mondiale à 7,27,2 milliards d’habitants .
Question 6

Selon ce modèle, à partir de quelle année la population mondiale devrait-elle dépasser 88 milliards d’habitants?

Correction
Il nous faut résoudre l'inéquation 0,4x+480,4x +4\ge8 . Ainsi :
0,4x+480,4x +4\ge8 équivaut successivement à :
0,4x840,4x \ge8-4
0,4x40,4x \ge4
x40,4x \ge\frac{4}{0,4}
x10x \ge10
Selon ce modèle, la population dépassera 88 milliards d’habitants en 20252025. rappel : les anneˊes vont de 5 en 5 .{\color{blue}{\text{rappel : les années vont de 5 en 5 .}}}
Question 7
À partir des données fournies dans le tableau ci-dessous :

Calculer le taux global d’évolution de la population mondiale entre 19801980 et 20102010, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1%0,1\%.

Correction
    Soit V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur et V1V_{1} sa valeur finale suite à une évolution.
  • Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V1V0V0\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }
  • En pourcentage, le taux d’évolution se note t%t\% avec t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100
  • Si t>0t > 0, il s’agit d’une augmentation.
  • Si t<0t < 0, il s’agit d’une diminution.
  • La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 4,44,4.
  • La valeur finale V1V_{1} vaut ici 6,86,8.
Il vient alors que :
t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100 équivaut successivement à :
t=6,84,44,4×100t=\frac{6,8-4,4}{4,4 }\times100
t54,5%t\approx54,5\%

La population mondiale entre 19801980 et 20102010 a connu une augmentation d'environ 54,5%54,5\%
Question 8

Calculer le taux moyen annuel d’évolution de la population mondiale entre 19801980 et 20102010, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01%0,01\%.

Correction
  • Si une quantité subit nn évolutions dont le taux global est TT, alors le taux moyen{\color{blue}\text{taux moyen}} tmt_{m} est obtenue à l'aide de la formule :
    tm=(1+T)1n1t_{m}=\left(1+T\right)^{\frac{1}{n}}-1
Le taux d’évolution global est de T=54,5%T=54,5\% . Il s'agit du résultat de la question précédente.
Maintenant{\color{red}\text{Maintenant}}, nous allons calculer le taux d’évolution moyen.
Nous savons que : tm=(1+T)1n1t_{m}=\left(1+T\right)^{\frac{1}{n}}-1
Comme il y a 30{\color{blue}30} évolutions ( nous allons de 19801980 à 20102010 ), nous avons donc :
tm=(1+54,5100)1301t_{m}=\left(1+\frac{54,5}{100}\right)^{\frac{1}{{\color{blue}30}}}-1
tm=(1+0,545)1301t_{m}=\left(1+0,545\right)^{\frac{1}{{\color{blue}30}}}-1
tm0,0146t_{m}\approx0,0146
tm1,46%t_{m}\approx1,46\%

Le taux moyen annuel d’évolution de la population mondiale entre 19801980 et 20102010, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01%0,01\% est d’environ 1,46%1,46\%.