Probabilités conditionnelles

Sous formes de problèmes - Exercice 4

16 min
30
Un concessionnaire automobile fait le bilan annuel de ses ventes.
60%60\% des véhicules vendus sont d’occasion, les autres sont neufs. Certains ont un moteur diesel, les autres un moteur essence.
Parmi les véhicules d’occasion, 25%25\% ont un moteur diesel.
Parmi les véhicules neufs, 30%30\% ont un moteur essence.
On choisit au hasard le dossier d’un véhicule vendu cette année. On note :
  • NN : " Le véhicule est neuf ".
  • DD : " C’est un véhicule diesel ".
Question 1

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus.

Correction
Question 2

Décrire par une phrase l’événement NDN\cap D puis calculer sa probabilité.

Correction
L'évènement NDN\cap D correspond à l'évènement : le véhicule est neuf et{\color{blue}{\text{et}}} il consomme du diesel .
P(ND)=P(N)×PN(D)P\left(N\cap D\right)=P\left(N\right)\times P_{N} \left(D\right)
P(ND)=0,4×0,7P\left(N\cap D\right)=0,4\times 0,7
P(ND)=0,28P\left(N\cap D\right)=0,28
Question 3

Montrer que p(D)=0,43p\left(D\right) = 0,43 .

Correction
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(D)=P(ND)+P(ND)P\left(D\right)=P\left(N\cap D\right)+P\left(\overline{N}\cap D\right)
P(D)=P(N)×PN(D)+P(N)×PN(D)P\left(D\right)=P\left(N\right)\times P_{N} \left(D\right)+P\left(\overline{N}\right)\times P_{\overline{N}} \left(D\right)
Soit : P(D)=0,4×0,7+0,6×0,25P\left(D\right)=0,4\times 0,7 +0,6\times 0,25
Ainsi :
P(D)=0,43P\left(D\right)=0,43

Question 4

On choisit au hasard un véhicule diesel. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit neuf?

Correction
Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le véhicule est un diesel , quelle est la probabilité qu'il soit neuf.
  • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}

Il vient alors que :
PD(N)=P(ND)P(D)P_{D} \left(N\right)=\frac{P\left(N\cap D\right)}{P\left(D\right)}
PD(N)=P(N)×PN(D)P(D)P_{D} \left(N\right)=\frac{P\left(N\right)\times P_{N} \left(D\right)}{P\left(D\right)}
PD(N)=0,4×0,70,43P_{D} \left(N\right)=\frac{0,4\times 0,7}{0,43} d'où :
PD(N)0,65P_{D} \left(N\right)\approx 0,65

La probabilité que le véhicule soit neuf sachant que c'est un diesel est d'environ 0,650,65 à 10210^{-2} près.